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双基限时练(十八)
1．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为( )
A．a<0，b<0，c>0 B．a≤0，b>0，c>0
C．a，b，c不全是正数 D．abc<0
答案 C
2．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有两个解 D．至少有三个解
答案 D
3．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
解析 ∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋＋b＋＋c＋
＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)
≥2＋2＋2＝6.
由此可断定三个数a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.
答案 C
4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )
A．假设三个内角都大于60°
B．假设三个内角都不大于60°
C．假设三个内角至多有一个大于60°
D．假设三个内角至多有两个大于60°
答案 A
5．已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b的位置关系为( )
A．肯定是异面直线
B．肯定是相交直线
C．不行能是平行直线
D．不行能是相交直线
解析 假设c∥b，则由c∥a，得b∥a，这与a，b是异面直线冲突．故c与b不行能是平行直线．
答案 C
6．命题“在△ABC中，A＞B，则a>b”，用反证法证明时，假设是________．
解析 命题的结论是a>b，假设应是“a≤b”．
答案 a≤b
7．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．
答案 a≠1或b≠1
8．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排列的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则________均为奇数．①
由于7个奇数之和为奇数，所以
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为________．②
而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③
②与③冲突，故p为偶数．
答案 ①a1－1，a2－2，…，a7－7 ②奇数 ③0
9．求证：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
证明 假设方程f(x)＝0在[a，b]上至少有两个实根α，β，即f(α)＝f(β)＝0，
∵α≠β，不妨设α>β，
又∵f(x)在[a，b]上单调递增，
∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0冲突，
∴f(x)＝0在[a，b]上至多有一个实根．
10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
解 设三个方程均无实根，则有
解得∴－<a<－1，
所以当a≥－1，或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根．
11．假如非零实数a，b，c两两不相等，且2b＝a＋c.
证明：＝＋不成立．
证明 假设＝＋成立，则＝＝，
∴b2＝ac.
又∵b＝，∴()2＝ac，即a2＋c2＝2ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c，这与a，b，c两两不相等冲突，
∴＝＋不成立．
12.
如右图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；
(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
解 (1)如右图，取CD的中点G，连接MG，NG，
∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
∵平面ABCD⊥平面DCEF，
∴MG⊥平面DCEF.
∴MG⊥GN.
∴MN＝＝.
(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN.
由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF.
又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF.
∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF，
∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E冲突，
故假设不成立．
∴ME与BN不共面，它们是异面直线．
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