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课时跟踪训练
1．若a＝30.6，b＝log30.2，c＝0.63，则( )
A．a＞c＞b B．a＞b＞c
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
解析：由于30.6＞1，log30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a＞c＞b.故选A.
答案：A
2．(2022年福建高考)若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如右图所示，则下列函数图象正确的是( )
解析：由于函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(3,1)，所以1＝loga3，解得a＝3，所以y＝3－x不行能过点(1,3)，排解A；y＝(－x)3＝－x3不行能过点(1,1)，排解C；y＝log3(－x)不行能过点(－3，－1)，排解D.故选B.
答案：B
3．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：令2sin πx－x＋1＝0，则2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数问题转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝2sin πx的最小正周期为T＝＝2，画出两个函数的图象，如图所示，∵h(1)＝g(1)，h＞g，g(4)＝3＞2，g(－1)＝－2，∴两个函数图象的交点一共有5个，∴f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5.
答案：B
4．(2022年陕西高考)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝x D．f(x)＝x
解析：f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3·y3，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，A错误．f(x)＝3x，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(x)＝3x是增函数，B正确．f(x)＝x，f(x＋y)＝(x＋y)≠x·y，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，C错误．f(x)＝x，f(x＋y)＝x＋y＝x·y，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，但f(x)＝x不是增函数，D错误．
答案：B
5．若偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则y＝f(x)的图象与y＝log4|x|的图象的交点个数是( )
A．3 B．4
C．6 D．8
解析：由于f(x)是满足f(x＋2)＝f(x)的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故f(x)是周期为2的周期函数，其图象如图所示，依据函数y＝log4|x|也是偶函数，其图象也关于y轴对称，简洁知道它们的交点共有6个，故选C.
答案：C
6．已知函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a－3，则使函数f(x)至少有一个整数零点的全部正整数a的值之和等于( )
A．1 B．4
C．6 D．9
解析：由已知f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a－3存在整数零点，∴方程ax2＋(1－2a)x＋a－3＝0有整数解，∴a(x－1)2＝3－x，明显x＝1不是其解，故a＝，由于a为正整数，故a＝≥1，∴－1≤x≤2，分别以x＝－1,0,2，代入求得a＝1,3，故全部正整数a的值之和等于4，选择B.
答案：B
7．已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋＞0，则函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：依题意，记g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)，g(0)＝0.当x＞0时，g′(x)＝x＞0，g(x)是增函数，g(x)＞0；当x＜0时，g′(x)＝x＜0，g(x)是减函数，g(x)＞0.在同一坐标系内画出函数y＝g(x)与y＝－的大致图象(图略)，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是1，选B.
答案：B
8．(2022年合肥模拟)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D.
解析：由于f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，所以x2－ax＋1＝0在上有解．由x2－ax＋1＝0，得a＝x＋，设g(x)＝x＋，则g′(x)＝1－，令g′(x)＞0，得g(x)在(1，＋∞)，(－∞，－1)上单调递增，令g′(x)＝1－＜0，得g(x)在(－1,1)上单调递减，由于＜x＜3，所以g(x)在上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以当＜x＜3时，2≤g(x)＜，所以a∈.
答案：D
9．某厂有很多外形为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为( )
A．160 B．175
C. D．180
解析：依题意知当x＝20，y≤8时，阴影部分面积S1≤20×8＝160.当x＜20,8＜y＜24时，有＝，即x＝(24－y)，此时阴影部分的面积S＝xy＝(24－y)y＝(－y2＋24y)，故当y＝12时，S有最大值为180.综上可知，截取的矩形面积的最大值为180.
答案：D
10．已知函数f(x)＝，下列是关于函数y＝f[f(x)]＋1的零点个数的4个推断：
①当k＞0时，有3个零点；
②当k＜0时，有2个零点；
③当k＞0时，有4个零点；
④当k＜0时，有1个零点．
则正确的推断是( )
A．①④ B．②③
C．①② D．③④
解析：令f[f(x)]＋1＝0得f[f(x)]＝－1.当k＞0时，在平面直角坐标系下画出函数f(x)的大致图象及直线y＝－1，留意到直线y＝－1与函数f(x)的图象有2个交点，设其横坐标分别是t1、t2，则t1＜0,0＜t2＜1；再画出直线y＝t1与y＝t2，结合图象可知，直线y＝t1与函数f(x)的图象有2个不同的交点，直线y＝t2与函数f(x)的图象有2个不同的交点，因此此时函数y＝f[f(x)]＋1有4个零点．同理，当k＜0时，函数y＝f[f(x)]＋1有1个零点，结合各选项知，选D.
答案：D
11．已知a，b∈R，若4a＝23－2b，则a＋b＝________.
解析：由4a＝23－2b，得22a＝23－2b，因此有2a＋2b＝3，故a＋b＝.
答案：
12．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：令g(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，h(x)＝x＋a，分0＜a＜1，a＞1两种状况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f(x)＝ax－x－a有两个不同的零点，则函数g(x)，h(x)的图象有两个不同的交点，依据画出的图象可知只有当a＞1时符合题目要求．
.
答案：(1，＋∞)
13．已知t＞－1，当x∈[－t，t＋2]时，函数y＝(x－4)|x|的最小值为－4，则t的取值范围是________．
解析：对于函数y＝(x－4)|x|可化为y＝，其图象如图所示，当y＝－4时，x＝2或x＝2－2，要满足当x∈[－t，t＋2]时，函数y＝(x－4)|x|的最小值为－4，则2－2≤－t≤2≤t＋2，因此可得t的取值范围是[0,2－2]．
答案：[0,2－2]
14．(2022年南京一模)某商场2021年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
①f(x)＝p·qx(q＞0，q≠1)；②f(x)＝logpx＋q(p＞0，p≠1)；③f(x)＝x2＋px＋q.
(1)能较精确 反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)；
(2)若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________.
解析：(1)①②都是单调函数，只有③先减后增，故填③；(2)将f(1)＝10，f(3)＝2代入③解得p＝－8，q＝17，所以f(x)＝x2－8x＋17.
答案：③ x2－8x＋17
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