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阶段回扣练1 集合与常用规律用语
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题
1．(2022·乌鲁木齐诊断)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，若A⊆B，则
a＝
( )
A．1 B．0 C．－2 D．－3
解析 由题意知a＋3＝1，a＝－2.
答案 C
2．(2021·长沙模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．故选D.
答案 D
3.已知集合M＝{x|x2－2x－3＜0}和N＝{x|x＞1}的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合为
( )
A．{x|x＞1}
B．{x|x＜3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜1}
解析 依题意得M＝{x|－1＜x＜3}，题中的阴影部分所表示的集合为M∩N＝{x|1＜x＜3}．
答案 C
4．“p∨q是真命题”是“綈p为假命题”的
( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 綈p为假命题，p为真命题，可得p∨q是真命题；p∨q是真命题，p可以为假命题，q为真命题，从而綈p为真命题．故选A.
答案 A
5．(2021·太原模拟)已知集合A＝，则满足A∪B＝{－1,0,1}的集合B的个数是
( )
A．2 B．3 C．4 D．9
解析 解方程x－＝0，得x＝1或x＝－1，所以A＝{1，－1}，又A∪B＝
{－1,0,1}，所以B＝{0}或{0,1}或{0，－1}或{0,1，－1}，集合B共有4个．
答案 C
6．(2022·长沙模拟)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝
( )
A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]
解析 ∵A＝{x|1＜x＜4}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．
答案 D
7．(2021·浙江卷)设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则( )
A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2
C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2
解析 设a＝5，b＝1，则a∧b＝1，a∨b＝5.排解A，B.设c＝1，d＝1.5，则c∨d＝1.5，排解D，选C.
答案 C
8．已知数列{an}是等比数列，命题p：“若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 若已知a1＜a2＜a3，则设数列{an}的公比为q，有a1＜a1q＜a1q2.当a1＞0时，解得q＞1，此时数列{an}是递增数列；当a1＜0时，解得0＜q＜1，此时数列{an}也是递增数列．反之，若数列{an}是递增数列，明显有a1＜a2＜a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p的否命题和逆否命题都是真命题，故选D.
答案 D
二、填空题
9．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是________．
答案 若x≤y，则x2≤y2
10．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x≤2}，则A∩(∁RB)＝________.
解析 依题意得∁RB＝{x|x＞2}，A∩(∁RB)＝{x|2＜x＜3}．
答案 {x|2＜x＜3}
11．(2022·天津十二区县重点中学联考)若集合A＝{x||x－2|≤3，x∈R}，B＝{y|y＝1－x2，x∈R}，则A∩B＝________.
解析 解不等式|x－2|≤3，得－1≤x≤5，所以A＝[－1,5]．又B＝{y|y＝1－x2，x∈R}＝(－∞，1]，所以A∩B＝[－1,1]．
答案 [－1,1]
12．(2022·杭州重点中学联考)对于任意x∈R，满足(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0恒成立的全部实数a构成集合A，使不等式|x－4|＋|x－3|＜a的解集为空集的全部实数a构成集合B，则A∩(∁RB)＝________.
解析 对于任意x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0恒成立，则a＝2或
解得－2＜a≤2，所以集合A＝(－2,2]．当不等式|x－4|＋|x－3|＜a有解时，a＞(|x－4|＋|x－3|)min＝1，所以解集为空集的全部实数a构成集合B＝(－∞，1]，
则∁RB＝(1，＋∞)，
所以A∩(∁RB)＝(－2,2]∩(1，＋∞)＝(1,2]．
答案 (1,2]
13．(2021·舟山高三月考)已知命题p：对任意x∈[0,1]，a≥ex，命题q：“存在x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵对任意x∈[0,1]，a≥ex，∴a≥e.由存在x∈R，使得x2＋4x＋a＝0，可得判别式Δ＝16－4a≥0，即a≤4.若命题“p∧q”是真命题，则p，q同为真，∴e≤a≤4.
答案 [e,4]
14．(2022·宿州检测)给出如下四个命题：
①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤ 2b－1”；
③“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x0∈R，x＋1≤1”；
④在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件．
其中不正确的命题的序号是________．
解析 若“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以①不正确；②正确；“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x0∈R，x＋1＜1”，所以③不正确；在△ABC中，若A＞B，则a＞b，依据正弦定理可得sin A＞sin B，所以④正确．故不正确的命题有①③.
答案 ①③
15．设命题p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；命题q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是________．
解析 设方程x2＋2mx＋1＝0的两根分别为x1，x2，由得m＜－1，
所以命题p为真时：m＜－1.
由方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根，可知Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)＜0，得－2＜m＜3，所以命题q为真时：－2＜m＜3.
由p∨q为真，p∧q为假，可知命题p，q一真一假，
当p真q假时，此时m≤－2；
当p假q真时，此时－1≤m＜3，所以所求实数m的取值范围是m≤－2或－1≤m＜3.
答案 (－∞，－2]∪[－1,3)
三、解答题
16．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R}．
(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
解 A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝[1,3]，∴得m＝3.
(2)∁RB＝{x|x＜m－2，或x＞m＋2}．
∵A⊆∁RB，∴m－2＞3或m＋2＜－1.
∴m＞5或m＜－3.
故实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
17．已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，假如p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
解 由关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；
由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a＞0的解集为R，则解得a＞.
由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，当p假，q真时，由⇒a＞1；
当p真，q假时，由⇒0＜a≤.
综上，知实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
18．(2021·镇江模拟)已知命题p：1<2x<8；命题q：不等式x2－mx＋4≥0恒成立，若綈p是綈q的必要条件，求实数m的取值范围．
解 p：1<2x<8，即0<x<3，
∵綈p是綈q的必要条件，
∴p是q的充分条件．
∴不等式x2－mx＋4≥0对任意x∈(0,3)恒成立，
∴m≤＝x＋对任意x∈(0,3)恒成立，
∵x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时，等号成立．
∴m≤4.即m的取值范围为(－∞，4]．
19．(2022·绍兴一中二模)已知a>0，命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实根x0满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
解 方程a2x2＋ax－2＝0即(ax＋2)·(ax－1)＝0，
∴x＝－或x＝.
不等式x2＋2ax＋2a≤0只有一个实数解，
即Δ＝(2a)2－8a＝0，
∵a>0，所以a＝2.
∵“p或q”为假命题，∴p假且q假，
∴
解得0<a<1，即a的取值范围是(0,1)．
20．(2021·天津月考)设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax，对任意x∈(－∞，－1)恒成立，假如命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
解 p：16－4a2<0且a>0，故a>2，
q：a>2x－＋1，对任意x∈(－∞，－1)恒成立，
增函数2x－＋1≤1，此时x＝－1，故a≥1.
命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
等价于p，q一真一假．故1≤a≤2.
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