高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章-复习点拨：综合法与分析法解题全过程.docx

综合法与分析法解题全过程
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题动身，一步一步地探究下去，最终达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件动身，经过逐步的规律推理，最终达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用格外广泛.
一. 综合法
综合法：从已知条件动身,经过逐步推理,最终达到待证结论,这种证明方法叫做综合法。
用综合法证明命题的规律关系是：

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件动身，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.
例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =；a , b，c成等比数列,转化为符号语言就是.此时假如能把角和边统一起来,那么就可以进一步查找角和边之间的关系,进而推断三角形的外形,余弦定理正好满足要求.于是可以用余弦定理为工具进行证明.
证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ①
由于A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=．②
由①②得B=.
由a, b，c成等比数列有.
由余弦定理及③，可得.
再由④得., 因此.从而A=C.
由②③⑤得:A=B=C=.所以△ABC为等边三角形．
说明：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．
例2、已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：留意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
故原不等式得证。
说明：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、推断符号。
2. 分析法
分析法：从待证结论动身,一步一步地寻求求结论成立的从分条件,最终达到题设的已知条件或已被证明的事实,这种方法叫做分析法
用分析法证明命题的规律关系是：

分析法的思维特点是：执果索因.
分析法的书写格式：
要证明命题B为真，
只需要证明命题为真，从而有……
这只需要证明命题为真，从而又有……
……
这只需要证明命题A为真.
而已知A为真，故命题B必为真.
例3、求证
证明：由于都是正数，所以为了证明
只需证明
开放得 即
由于成立，所以成立
即证明白.
说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法.
②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，
这只需要证明命题B1为真，从而有……
这只需要证明命题B2为真，从而又有……
这只需要证明命题A为真
而已知A为真，故B必真
在本例中，假如我们从“21<25 ”动身，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。
事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：依据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；依据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．
例4 已知，且
①
②
求证：。
分析：比较已知条件和结论，发觉结论中没有毁灭角，因此第一步工作可以从已知条件中消去.观看已知条件的结构特点，发觉其中蕴含数量关系:
，于是，由 ①2一2×② 得．把与结论相比较，发觉角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为:
,再与比较，发觉只要把
中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．
证明：由于，所以将 ① ② 代入，可得
. ③
另一方面，要证 即证 ，
即证，即证，
即证。由于上式与③相同，于是问题得证。
例5 .证明：通过水管放水，当流速相同时，假如水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为所以本题只需证明.
证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为，所以本题只需证明
为了证明上式成立，只需证明 ,两边同乘以正数，得.
因此只需证明,而该式是成立的，所以.
这就证明白，通过水管放水，当流速相同时，假如水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
说明：对于较简洁的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此通常用分析法探究证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.