2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：5.4-数列求和-.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十一)数 列 求 和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设数列(-1)n的前n项和为Sn,则对任意正整数n,Sn=()【解析】选D.由于数列(-1)n是首项与公比均为-1的等比数列,所以Sn=(-1)-(-1)n(-1)1-(-1)=(-1)n-12.【加固训练】若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a10=()A.15B.12C.-12D.-15【解析】选A.由于an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+a10=(-1+4)+(-7+10)+(-25+28)=35=15.2.(2021青岛模拟)已知Sn=12+1+13+2+12+3+1n+1+n,若Sm=10,则m=()A.11B.99C.120D.121【解析】选C.由于1n+1+n=n+1-nn+1-n=n+1-n,所以Sm=2-1+3-2+m+1-m=m+1-1.由已知得m+1-1=10,所以m=120.故选C.3.设f(n)=2+24+27+210+23n+10(nN*),则f(n)等于()A.27(8n-1)B.27(8n+1-1)C.27(8n+3-1)D.27(8n+4-1)【解析】选D.由题意知f(n)可看作以2为首项,23为公比的等比数列的前n+4项和,所以f(n)=21-(23)n+41-23=27(8n+4-1).4.(2021铜陵模拟)若函数g(x)=xm+ax的导函数为g(x)=2x+1,则数列1g(n)(nN*)的前n项和是()A.nn-1B.n+2n+1C.nn+1D.n+1n【解析】选C.由题意得g(x)=mxm-1+a,又g(x)=2x+1,所以m=2,a=1,g(x)=x2+x,1g(n)=1n(n+1)=1n-1n+1,故所求的前n项和为1-12+12-13+13-14+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.5.数列an的通项公式an=ncosn2,其前n项和为Sn,则S2022等于()A.2022B.1008C.504D.0【解析】选B.由于an=ncosn2,所以当n为奇数时,an=0,当n为偶数时,an=n,n=4m,-n,n=4m-2,其中mN*,所以S2022=a1+a2+a3+a4+a5+a2022=a2+a4+a6+a8+a2022=-2+4-6+8-10+12-14+2022=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+(-2022+2022)=2504=1008.故选B.【加固训练】(2021合肥模拟)已知数列an满足a1=1,an+1an=2n(nN*),Sn是数列an的前n项和,则S2022=()A.22022-1B.321008-3C.321008-1D.322022-2【解析】选B.依题意得anan+1=2n,an+1an+2=2n+1,于是有an+1an+2anan+1=2,即an+2an=2,数列a1,a3,a5,a2n-1,是以a1=1为首项、2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,a2n,是以a2=2为首项、2为公比的等比数列,于是有S2022=(a1+a3+a5+a2021)+(a2+a4+a6+a2022)=1-21 0081-2+2(1-21 008)1-2=321008-3,故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设f(x)=13x+3,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(-12)+f(-11)+f(-10)+f(0)+f(11)+f(12)+f(13)的值为.【解析】抓住求和式子与函数f(x)=13x+3的特征,我们对自变量进行配对,当自变量之和为1时,争辩函数值之和,即f(x)+f(1-x)=13x+3+ 131-x+3=13x+3+133x3x+3=13,共计配成13对,故所求的和为1333.答案:13337.设数列an的通项公式为an=2n-10(nN*),则|a1|+|a2|+|a15|=.【解析】由an=2n-10(nN*)知an是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-100得n5,所以当n5时,an0,当n5时,an0,所以|a1|+|a2|+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a15)=20+110=130.答案:130【加固训练】(2021郑州模拟)若数列an是1,1+12,1+12+14,1+12+14+12n-1,则数列an的前n项和Sn=.【解析】an=1+12+14+12n-1=1-12n1-12=21-12n,所以Sn=21-12+1-122+1-12n=2(1+1+1n个)-12+122+12n=2n-121-12n1-12=2n-1-12n=2n-2+12n-1.答案:2n-2+12n-18.(2021厦门模拟)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的x,yR,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1=12,an=f(n)(nN*),则数列an的前n项和Sn的取值范围是.【解析】由已知可得a1=f(1)=12,a2=f(2)=f(1)2=122,a3=f(3)=f(2)f(1)=f(1)3=123,an=f(n)=f(1)n=12n,所以Sn=12+122+123+12n=121-12n1-12=1-12n,由于nN*,所以12Sn1.答案:12,1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2021洛阳模拟)已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn.(2)令bn=1an2-1(nN*),求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,则由已知得解得所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+n(n-1)22=n2+2n.(2)由(1)知an=2n+1,即数列bn的前n项和Tn=n4(n+1).【误区警示】(1)在解答本题时有两点简洁造成失分:利用方程的思想联立求解在计算上简洁毁灭失误,不能精确求出首项a1和公差d;在求解数列bn的前n项和时,不能娴熟精确地利用裂项方法.(2)解决等差数列问题时,还有以下几点简洁造成失分,在备考时要高度关注:对通项公式与前n项和公式记忆错误;基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确;推断一个数列是否为等差数列时,易忽视验证第一项.【加固训练】(2021漳州模拟)在数列an和bn中,已知a1=2,a2=6,an+2an=3an+12(nN*),bn=an+1an,(1)求证:数列bn是等比数列.(2)求数列an的通项公式.(3)若pn=1log3an+12,Sn为数列pn的前n项和,求Sn.【解析】(1)由于an+2an=3an+12(nN*),所以bn+1bn=an+2an+1an+1an=an+2anan+12=3an+12an+12=3,所以数列bn是以3为公比的等比数列.(2)由(1)可得到bn=b1qn-1=a2a1qn-1=623n-1=3n,所以bn=an+1an=3n,所以a2a1=31,a3a2=32,a4a3=33,anan-1=3n-1,所以a2a1a3a2a4a3anan-1=3132333n-1,所以ana1=31+2+3+(n-1)=3n2-n2.又由于a1=2,所以an=a13n2-n2=23n2-n2.(3)由(2)得:an=23n2-n2,所以pn=1log3an+12=1log33(n+1)2-(n+1)2=2n2+n=2n(n+1)=2n-2n+1,所以Sn=p1+p2+p3+pn=21-22+22-23+23-24+2n-2n+1=2-2n+1=2nn+1.10.(2022安徽高考)数列an满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN*.(1)证明:数列ann是等差数列.(2)设bn=3nan,求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)由已知可得所以ann是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)得ann=1+(n-1)=n,所以an=n2,从而bn=n3n,Sn=131+232+333+n3n,3Sn=132+233+334+(n-1)3n+n3n+1.-可得-2Sn=31+32+33+3n-n3n+1=3(1-3n)1-3-n3n+1=【加固训练】已知数列an是首项为a1=14,公比为q=14的等比数列,设bn+2=3log14an(nN*),数列cn满足cn=anbn.(1)求数列bn的通项公式.(2)求数列cn的前n项和Sn.【解析】(1)由题意,知an=14n(nN*),又bn=3log14an-2,故bn=3n-2(nN*).(2)由(1),知an=14n,bn=3n-2(nN*),所以cn=(3n-2)14n(nN*).所以Sn=114+4142+7143+(3n-5)14n-1+(3n-2)14n,于是14Sn=1142+4143+7144+(3n-5)14n+(3n-2)14n+1.两式相减,得34Sn=14+3142+143+14n-(3n-2)14n+1=12-(3n+2)14n+1.所以Sn=23-3n+2314n(nN*).(20分钟40分)1.(5分)(2021重庆模拟)已知数列an:12,13+23,14+24+34,110+210+310+910,那么数列bn=的前n项和Sn为()A.nn+1B.4nn+1C.3nn+1D.5nn+1【解析】选B.an=1+2+3+nn+1=n2,所以bn=4n(n+1)=4(1n-1n+1),2.(5分)已知数列2008,2009,1,-2008,-2009,这个数列的特点是从其次项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2021项之和S2021等于()A.2008B.2010C.1D.0【解析】选C.由已知得an=an-1+an+1(n2),所以an+1=an-an-1.故数列的前8项依次为2008,2009,1,-2008,-2009,-1,2008,2009.由此可知数列为周期数列,周期为6,且S6=0.由于2021=6335+5,所以S2021=S5=2008+2009+1+(-2008)+(-2009)=1.【加固训练】在数列an中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记Sn为an的前n项和,则S2021=.【解析】由a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0,该数列是周期为4的数列,a2021=a1=1,a2022=a2=-2,a2021=a3=-1,所以S2021=503(a1+a2+a3+a4)+a2021+a2022+a2021=503(1-2-1+0)+1-2-1=-1008.答案:-1008【方法技巧】数列求和的思路(1)等差数列和等比数列的前n项和公式是求和的基础.一般数列的求和问题往往通过变形整理,转化为这两类特殊数列的和的问题.例如,一类特殊数列的求和通过倒序相加法或错位相减法变形后,就可以转化为这两类数列的求和问题.(2)观看数列的特点是变形的基础.给定的数列有其自身的特点和规律,依据数列的特点和规律选择合适的方法变形是解题的突破口.3.(5分)(2021泉州模拟)已知a,bN*,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则i=12 014f(i+1)f(i)等于.【解析】由于f(a+b)=f(a)f(b),令b=1,得f(a+1)=f(a)f(1),所以f(a+1)f(a)=f(1)= 2,故f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(4)f(3)+f(2 015)f(2 014)=22022=4028.答案:40284.(12分)(2022新课标全国卷)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求an的通项公式.(2)证明:1a1+1a2+1an1时, 【加固训练】等差数列an的首项a1=3,且公差d0,其前n项和为Sn,且a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4项.(1)求数列an与bn的通项公式.(2)证明:131S1+1S2+1Sn34.【解析】(1)设等比数列的公比为q,由于a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4,所以(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,所以d2-2d=0,所以d=2或d=0(舍去).所以an=3+2(n-1)=2n+1.等比数列bn的公比为b3b2=a4a1=3,b1=b2q=1.所以bn=3n-1.(2)由(1)知Sn=n2+2n.所以1Sn=1n(n+2)=121n-1n+2,所以1S1+1S2+1Sn=121-13+12-14+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=34-121n+1+1n+234.由于1n+1+1n+212+13=56,所以34-121n+1+1n+213,所以131S1+1S2+1Sn34.5.(13分)(力气挑战题)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn满足Sn=2an-2.(1)求an的通项.(2)若bn满足b1=1,bn+1n+1-bnn=1,求数列anbn的前n项和.【解析】(1)由于Sn=2an-2,所以n2时,Sn-1=2an-1-2,所以由-得,an=2an-2an-1(n2),所以an=2an-1.又当n=1时,式可化为a1=2a1-2,解得a1=2,所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=22n-1=2n.(2)由于bn+1n+1-bnn=1,b1=1,所以数列bnn是首项为1,公差为1的等差数列,所以bnn=1+(n-1)1=n,bn=n2.设Tn为数列anbn的前n项和,则Tn=121+222+323+(n-1)2n-1+n2n2Tn=122+223+(n-1)2n+n2n+1-得,-Tn=21+22+23+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1=(1-n)2n+1-2,所以Tn=(n-1)2n+1+2,即数列anbn的前n项和为(n-1)2n+1+2.关闭Word文档返回原板块