2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：8.5-椭圆-.docx

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课时提升作业(四十七)
椭　　圆
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知椭圆与双曲线=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.由于双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为=1(a>b>0),由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以依据椭圆的定义可得2a=10⇒a=5,则c==4,e=选B.
2.(2021·烟台模拟)一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选A.设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).由点P(2,)在椭圆上知=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=2×2c,又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=6.
【加固训练】已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.-=1 B.+ =1
C.-=1 D.+=1
【解析】选D.设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,
所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.
3.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为　(　　)
A.36 B.13 C.12 D.33
【解析】选D.在Rt△PF1F2中,令|PF2|=1,由于∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2,|F1F2|=3.所以e=2c2a=|F1F2||PF1|+|PF2|=33.故选D.
4.(2021·聊城模拟)椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点,l:x=,且PQ⊥l,垂足为Q,若四边形PQF1F2为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A.(,1) B.(0,) C.(0,) D.(,1)
【解析】选A.设点P(x1,y1),由于PQ⊥l,故|PQ|=x1+,由于四边形PQF1F2为平行四边形,所以|PQ|=|F1F2|=2c,即x1+=2c,则有x1=2c->-a,所以2c2+ac-a2>0,即2e2+e-1>0,解得e<-1或e>,由于0b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰有8个不同的点P,使得△F1F2P为直角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(0,]
C.(,1) D.[,1)
【解析】选C.由题意,问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF1与直线PF2垂直,
所以|OP|=c>b,即c2>a2-c2,
所以a则OP→·FP→的最大值为(　　)
A.2 B.3 C.6 D.8
【解析】选C.设椭圆上任意一点P(x0,y0),则有=1,
即y02=3-x02,O(0,0),F(-1,0),
则OP→·FP→=x0(x0+1)+y02=x02+x0+3=(x0+2)2+2.
由于|x0|≤2,所以当x0=2时,OP→·FP→取得最大值为6,故选C.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为　　　　.
【解析】由题意知|OM|=|PF2|=3,
所以|PF2|6,所以|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.
答案:4
7.分别过椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条相互垂直的直线l1,l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是　　　　.
【解题提示】关键是由l1,l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.
【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.
又点P在椭圆内部,所以有c2b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为　　　　.
【解题提示】利用余弦定理确定|AF|,进而判定△ABF的外形,然后利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率.
【解析】如图,设|AF|=x,则cos∠ABF=

解得x=6(负值舍去),所以∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8,且∠FAF1=∠FAB+∠FBA=90°,△FAF1是直角三角形,所以|F1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,所以
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2022·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.

(1)若点C的坐标为,且|BF2|=,求椭圆的方程.
(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.
【解析】(1)由题意F2(c,0),B(0,b),
|BF2|=
又C,
所以=1,解得b=1,
所以椭圆方程为+y2=1.
(2)直线BF2方程为=1,与椭圆方程=1联立方程组,
解得A点坐标为
则C点的坐标为
又F1(-c,0),kF1C=又kAB=-,由F1C⊥AB,
得·(-)=-1,
即b4=3a2c2+c4,
所以(a2-c2)2=3a2c2+c4,
化简得e=
10.(2021·济南模拟)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,长轴端点与短轴端点间的距离为5.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于E,F两点,O为坐标原点,若△OEF为直角三角形,求直线l的斜率.
【解析】(1)由已知ca=32,a2+b2=5,又a2=b2+c2,解得a2=4,b2=1,
所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)依据题意,过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设l:y=kx+4,
联立x24+y2=1,y=kx+4,消去y得1+4k2)x2+32kx+60=0,
Δ=(32k)2-240(1+4k2)=64k2-240,
令Δ>0,解得k2>154.
设E,F两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
(i)当∠EOF为直角时,则x1+x2=-32k1+4k2,x1x2=601+4k2,
由于∠EOF为直角,所以OE→·OF→=0,即x1x2+y1y2=0,所以(1+k2)x1x2+4k(x1+x2)+16=0,
所以15×(1+k2)1+4k2-32k21+4k2+4=0,解得k=±19.
(ii)当∠OEF或∠OFE为直角时,不妨设∠OEF为直角,此时,kOE·k=-1,所以y1x1·y1-4x1=-1,即x12=4y1-y12,①
又x124+y12=1,②
将①代入②,消去x1得3y12+4y1-4=0,解得y1=23或y1=-2(舍去),
将y1=23代入①,得x1=±235,所以k=y1-4x1=±5,
经检验,所求k值均符合题意.
综上,k的值为±19或±5.
(20分钟　40分)
1.(5分)已知椭圆=1,若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是(　　)
A.(,) B.(-,)
C.(-, ) D.(-,)
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),
AB的中点M(x,y),kAB
x1+x2=2x,y1+y2=2y,3x12+4y12=12　 ①,
3x22+4y22=12　 ②,
①②两式相减得3(x22-x12)+4(y22-y12)=0,
即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,
而M(x,y)在椭圆的内部,
则<1,即-)(2021·日照模拟)椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为32,则ab的值为(　　)
A.32 B.233 C.932 D.2327
【解析】选A.把y=1-x代入椭圆ax2+by2=1得ax2+b(1-x)2=1,整理得(a+b)x2-2bx+b-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2ba+b,y1+y2=2-2ba+b,所以线段AB的中点坐标为ba+b,aa+b,所以过原点与线段AB中点的直线的斜率k=aa+bba+b=ab=32.
【加固训练】1.已知F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,A是椭圆上一动点,圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切,若M(t,0)为一个切点,则
(　　)
A.t=2 B.t>2
C.t<2 D.t与2的大小关系不确定
【解题提示】先画出图形,留意圆的切线的性质以及椭圆的定义即可求解.
【解析】选A.如图,P,Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点,

则|MF2|=|F2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|,
即|F1M|+|MF2|=2a.
所以t=a=2.
2.已知椭圆(a>b>0),以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线,切点为A,B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为(　　)

【解析】选B.由题意知|OA|=|AP|=b,|OP|=a,OA⊥AP,所以2b2=a2,故e=故选B.
3.(5分)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线与椭圆相交于A,B两点,若AB→·=0,|AB→|=||,则椭圆的离心率为　　　　.
【解析】在Rt△ABF2中,设|AF2|=m,则|AB|=m,
|BF2|=2m,所以4a=(2+2)m.
又在Rt△AF1F2中,|AF1|=2a-m=22m,|F1F2|=2c,
所以(2c)2=(22m)2+m232m2,则2c=62m.
所以椭圆的离心率e=2c2a=621+22=6-3.
答案:6-3
【加固训练】直线y=-x与椭圆C:=1(a>b>0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C.-1 D.4-2
【解析】选C.设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,由题意可得
|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c,由y=-x得∠AOF2=,∠AOF1=.所以
|AF2|=c,|AF1|=c.
由椭圆定义知,|AF1|+|AF2|=2a,
所以c+c=2a,
所以e==-1.
4.(12分)(2021·青岛模拟)已知椭圆C: =1(a>b>0)的焦距为2,且过点(1,),右焦点为F2,设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M的横坐标为-,线段AB的中垂线交椭圆C于P,Q两点.

(1)求椭圆C的方程.
(2)求F2P→·F2Q→的取值范围.
【解析】(1)由于焦距为2,所以a2-b2=1.
由于椭圆C过点(1,),所以=1,故a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)争辩当直线AB垂直于x轴,直线AB方程为x=-,此时P(-,0),Q(,0),得F2P→·F2Q→=-1.
当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k(k≠0),M(-,m)(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),利用“点差法”,首先得到4mk=1;
得到PQ的直线方程为y-m=-4m(x+),
即y=-4mx-m.
联立消去y,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.
设P(x3,y3),Q(x4,y4),应用根与系数的关系,得到F2P→·F2Q→=
依据M(-,m）在椭圆的内部,得到0与椭圆C1交于两点M,N,记线段MN与PA的中点分别为G,H,当GH与y轴平行时,求h的最小值.
【解析】(1)由题意可得
解得a=2,b=1,所以椭圆C1的方程为y24+x2=1.
(2)设P(t,t2+h),由y′=2x,
得抛物线C2在点P处的切线斜率为k=y′|x=t=2t,
所以MN的方程为y=2tx-t2+h,
代入椭圆方程得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,
化简得4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0,
又MN与椭圆C1有两个交点,
故Δ=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0,①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点的横坐标为x0,
则x0=x1+x22=t(t2-h)2(1+t2),
设线段PA中点的横坐标为x3=1+t2,
由已知得x0=x3,即t(t2-h)2(1+t2)=1+t2,②
明显t≠0,所以h=-(t+1t+1),③
当t>0时,t+1t≥2,当且仅当t=1时取等号,此时h≤-3,不满足①式,故舍去;
当t<0时,(-t)+(-1t)≥2,当且仅当t=-1时取等号,此时h≥1,满足①式.
综上,h的最小值为1.
【加固训练】(2022·南宁模拟)设椭圆C: =1(a>b>0)的离心率e=,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程.
(2)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.
【解析】(1)依题意知,2a=4,所以a=2.
由于所以c=,b=
所以所求椭圆C的方程为=1.
(2)由于点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为
P1(x1,y1),所以
解得
所以3x1-4y1=-5x0.
由于点P(x0,y0)在椭圆C:=1上,
所以-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10.
所以3x1-4y1的取值范围为[-10,10].
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