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课时提升作业(十一)
函数与方程
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数f(x)=ln(x+1)-的一个零点所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
【解析】选B.由题意知,函数f(x)=ln(x+1)- 的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),结合四个选项可知,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)<0,f(2)>0,所以函数f(x)=ln(x+1)-的一个零点所在的区间是(1,2).
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
m
-4
-6
-6
-4
n
6
可以推断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是( )
A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1)
C.(-1,1)和(1,2) D.(-1,3)和(4,+∞)
【解析】选A.由表格可得二次函数f(x)的对称轴为y=,a>0,再依据f(-3)f(-1)<0,f(2)f(4)<0,可得f(x)的零点所在的区间是(-3,-1)和(2,4),即方程ax2+bx+c=0的两个根所在的区间是(-3,-1)和(2,4).
3.(2021·潍坊模拟)已知函数f(x)=12x-sinx,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.零点就是使得函数值为0的x值.由12x-sinx=0⇒12x=sinx,在同一坐标系中作出y=12x,y=sinx在[0,2π]上的图象如图,可以看出交点个数为2.
4.(2022·湖北高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )
A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}
C.{2-,1,3} D.{-2-,1,3}
【解题提示】考查函数的奇偶性、零点及函数的方程思想.首先依据f(x)是定义在R上的奇函数,求出函数在R上的解析式,再求出g(x)的解析式,依据函数的零点就是方程的解,问题得以解决.
【解析】选D.由f(x)是定义在R上的奇函数,
当x≥0时,f(x)=x2-3x,
所以f(x)=
所以g(x)=
由解得x1=3,x2=1,
由解得x=-2-,故选D.
5.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )
A.x2<x1<x3 B.x1<x2<x3
C.x1<x3<x2 D.x3<x2<x1
【解析】选B.依据零点的意义,转化为函数y=x分别和y=-2x,y=-ln x,y=+1的交点的横坐标大小问题,作出草图,易得x1<0<x2<1<x3.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2021·洛阳模拟)函数f(x)=log2(x2-3x)-2的零点是 .
【解析】由f(x)=0,得log2(x2-3x)=2,
x2-3x-4=0,解得x=-1或x=4.
答案:-1或4
7.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2 015x+log2 015x,则在R上,函数f(x)零点的个数为 .
【解析】函数f(x)为R上的奇函数,因此f(0)=0,当x>0时,f(x)=2 015x+log2 015x在区间(0,)内存在一个零点,又f(x)为增函数,因此在(0,+∞)内有且仅有一个零点.依据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一解,从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.
答案:3
8.若二次函数f(x)=x2-2ax+4在(1,+∞)内有两个零点,则实数a的取值范围为 .
【解析】据二次函数图象应满足:
Δ>0,--2a2>1,f(1)>0,即4a2-16>0,a>1,a<52,
解得2<a<52.
答案:2,25
【一题多解】本题还可以接受如下方法:
方法一:运用根与系数的关系.
设x1,x2为方程x2-2ax+4=0的两根,则有
x1+x2=2a,x1x2=4. ①
要使原方程x2-2ax+4=0的两根x1,x2均大于1,则需满足(x1-1)+(x2-1)>0,(x1-1)(x2-1)>0,Δ>0.
将①代入上述不等式组中,解之,得2<a<52.
方法二:运用求根公式.
方程x2-2ax+4=0的两根为
x1,2=2a±4a2-162=a±a2-4;
且Δ>0,得a>2或a<-2.
要使两根均大于1,只需小根a-a2-4>1即可,解之得2<a<52.
答案:2,52
【加固训练】若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的取值为 .
【解析】当a=0时,函数f(x)=-x-1为一次函数,则-1是函数的零点,即函数仅有一个零点;
当a≠0时,函数f(x)=ax2-x-1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax2-x-1=0有两个相等实根.
所以Δ=1+4a=0,解得a=-14.
综上,当a=0或a=-14时,函数仅有一个零点.
答案:0或-14
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点.
(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.
所以函数f(x)的零点为3或-1.
(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4×(4a)<0⇒a2-a<0,解得0<a<1,因此实数a的取值范围是(0,1).
【方法技巧】二次函数零点问题的解题技巧
对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决,结合二次函数的图象从判别式,根与系数的关系、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的全部条件,这里涉及三个“二次”问题的全面考虑和“数形结合思想”的机敏运用.
【加固训练】是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴有且只有一个交点.若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.
【解析】由于Δ= (3a-2)2-4(a-1)=9a-892+89>0,所以若存在实数a满足条件,
则只需f(-1)·f(3)≤0即可.f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)
=4(1-a)(5a+1)≤0,所以a≤-15或a≥1.
检验:①当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.
令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.
②当f(3)=0时,a=-15,此时f(x)=x2-135x-65.令f(x)=0,即x2-135x-65=0,
解得x=-25或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-15.
综上所述,a的取值范围是-∞,-15∪(1,+∞).
10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.
【解析】由于f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,
即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.
设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.
当Δ=0时,即m2-4=0,m=±2,
所以m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去).
所以2x=1,x=0符合题意.
当Δ>0时,即m>2或m<-2时,
t2+mt+1=0有两正或两负根,
即f(x)有两个零点或没有零点.
所以这种状况不符合题意.
综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.
(20分钟 40分)
1.(5分)(2021·长沙模拟)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是( )
A. B.(1,2)
C. D.(2,3)
【解析】选C.由图象可知
故f(x)=x2+ax-a-1,a∈(-2,-1),
所以函数g(x)=ln x+f′(x)的零点为函数y=ln x与函数y=-f′(x)=-2x-a交点的横坐标,分析两函数图象得函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是.
2.(5分)(2021·石家庄模拟)设函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.函数f(x)=的图象如图,
不妨设x1<x2<x3,则x2,x3关于直线x=3对称,故x2+x3=6,且x1满足-<x1<0,
则x1+x2+x3的取值范围是-+6<x1+x2+x3<0+6,即x1+x2+x3∈.
3.(5分)(2021·厦门模拟)若函数f(x)=x2-|x|-a-1有四个零点,则实数a的取值范围是 .
【解析】由f(x)=0得x2-|x|=a+1,
作出y=x2-|x|的图象如图,
由图可知-14<a+1<0,
即-54<a<-1.
答案:-54,-1
【加固训练】(2021·南充模拟)已知函数f(x)=其中m>0,且函数f(x)满足f(x+4)=f(x).若方程3f(x)-x=0恰有5个根,则实数m的取值范围是 .
【解题提示】依据对函数的解析式进行变形后发觉当x∈(-1,1],[3,5],[7,9]上时,f(x)的图象为半个椭圆.依据图象推断要使方程恰有5个实数解,则需直线y=与其次个半椭圆相交,而与第三个半椭圆无公共点.把直线分别代入椭圆方程,依据Δ可求得m的范围.
【解析】由于当x∈(-1,1]时,将函数化为方程x2+ =1(y≥0),
所以实质上为一个半椭圆,
同时在坐标系中作出当x∈(1,3]时的图象,再依据周期性作出函数其他部分的图象,如图,
由图易知直线y=与其次个半椭圆(x-4)2+=1(y≥0)相交,
而与第三个半椭圆(x-8)2+=1(y≥0)无公共点时,方程恰有5个实数根,
将y=代入(x-4)2+=1(y≥0)得,(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0,令t=9m2(t>0),
则(t+1)x2-8tx+15t=0,由Δ=(-8t)2-4×15t(t+1)>0,得t>15,由9m2>15,且m>0得m>,
同样由y=与第三个半椭圆(x-8)2+=1(y≥0)联立所得方程Δ<0可计算得m<,
综上可知m∈.
答案:
4.(12分)(2021·郑州模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.
(1)写出函数y=f(x)的解析式.
(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.
【解析】(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞).
由于y=f(x)是奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)] =-x2-2x,
所以f(x)=
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,
最小值为-1;
当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.
所以据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示),依据图象,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,则a的取值范围是(-1,1).
5.(13分)(力气挑战题)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0).
(1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围.
(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
【解析】(1)由于x>0时g(x)=x+≥=2e,
等号成立的条件是x=e,
故g(x)的值域是[2e,+∞),
因而只需m≥2e,则y=g(x)-m就有零点.
所以m的取值范围是[2e,+∞).
【一题多解】本题(1)还可以接受如下解法:
作出g(x)=x+ (x>0)的大致图象如图:
可知若使y=g(x)-m有零点,则只需m≥2e.
所以m的取值范围是[2e,+∞).
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,
作出g(x)=x+ (x>0)的大致图象.由于f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,所以其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
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