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课时提升作业(四十八)
双 曲 线
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设P是双曲线=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( )
A.1 B.17
C.1或17 D.以上答案均不对
【解析】选B.由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,但应留意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,所以|PF2|=17.
【误区警示】本题极易忽视双曲线的右顶点到右焦点距离的最小值为2>1,从而误选C.
2.若双曲线=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则m的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选A.由于双曲线=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,所以m+m-2=4,即m=3.
【加固训练】与椭圆C:=1共焦点且过点(1,)的双曲线的标准方程为
( )
A.x2-=1 B.y2-2x2=1
C.-=1 D.-x2=1
【解析】选C.椭圆=1的焦点坐标为(0,-2),(0,2),设双曲线的标准方程为=1(m>0,n>0),
则解得m=n=2,故选C.
3.(2021·沈阳模拟)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线的左支上,且|MF2|=7|MF1|,则此双曲线离心率的最大值为( )
A. B. C.2 D.
【解析】选A.由于|MF2|=7|MF1|,所以|MF2|-|MF1|=6|MF1|,
即2a=6|MF1|≥6(c-a),
故8a≥6c,即e=
4.(2021·马鞍山模拟)以双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的中心O(坐标原点)为圆心,焦距为直径的圆与双曲线交于M点(第一象限),F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,过点M作x轴垂线,垂足恰为OF2的中点,则双曲线的离心率为( )
A.3-1 B.3 C.3+1 D.2
【解析】选C.由题意M的坐标为c2,3c2,代入双曲线方程可得c24a2-3c24b2=1,所以e4-8e2+4=0,所以e2=4+23,所以e=3+1.
5.设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 ( )
A.2 B.32 C.3 D.62
【解析】选C.不妨设P是双曲线右支上的一点,依据定义可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,又|F1F2|=2c,且c>a,所以△PF1F2的最小内角为∠PF1F2=30°,依据余弦定理可得cos∠PF1F2=(4a)2+(2c)2-(2a)22·4a·2c=32,又e=ca,即c=ae代入化简可得e=3.
【方法技巧】双曲线离心率的求解方法
(1)直接法:利用已知条件直接求出a,c的值,再利用离心率公式直接求解.
(2)利用渐近线方程:利用离心率与渐近线斜率之间的关系e=求解.
(3)利用关于a,c的齐次式:利用已知条件,查找a与c的关系式,然后求解.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2021·成都模拟)已知圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为 .
【解析】易知圆与y轴的交点坐标为(0,3),(0,-3),由于圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,所以双曲线的焦点在y轴上,且a=3,又A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以c=9,所以b2=72,所以此双曲线的标准方程为=1.
答案: =1
7.已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点,P是双曲线右支上的动点,若A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是 .
【解析】由于A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F′(4,0),于是由双曲线的定义得|PF|-|PF′|=2a=4.而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5.两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A,P,F′三点共线时,等号成立.
答案:9
【方法技巧】与双曲线有关的最值问题的求法
与双曲线有关的最值问题,经常借助于双曲线的定义,将表达式转化为线段之和求最值,然后再借助于平面几何的性质求解.
8.过已知双曲线=1(b>0)的左焦点F1作☉O:x2+y2=4的两条切线,记切点为A,B,双曲线的左顶点为C,若∠ACB=120°,则双曲线的离心率为 .
【解析】如图,
由于∠OCA=60°,|OC|=|OA|=2,
所以∠AOC=60°,∠AF1C=30°,
所以e==2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.过双曲线=1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.
(1)求|AB|.
(2)求△AOB的面积.
【解析】(1)由双曲线的方程得a=,b=,
所以c==3,F1(-3,0),F2(3,0).
直线AB的方程为y=(x-3).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由
得5x2+6x-27=0.
所以x1+x2=-,x1x2=-.
所以|AB|=|x1-x2|
(2)直线AB的方程变形为x-3y-3=0.
所以原点O到直线AB的距离为d=
所以S△AOB=|AB|·d=××=
10.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程.
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且OA→·OB→>2(其中O为原点),求k的取值范围.
【解析】(1)设双曲线C2的方程为=1(a>0,b>0),
则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,
得b2=1,
故C2的方程为-y2=1.
(2)将y=kx+代入-y2=1,
得(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得
所以k2≠且k2<1. ①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
所以OA→·OB→
=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+)(kx2+)
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2
=
又由OA→·OB→>2,得
>2,解得<k2<3, ②
由①②得,<k2<1.
故k的取值范围为(-1,-)∪(,1).
(20分钟 40分)
1.(5分)(2022·南平模拟)如图,F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M,若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是( )
A.233 B.62 C.2 D.3
【解析】选B.由y=bax,y=bc(x+c),可解得x=acc-a,
y=bcc-a,即Qacc-a,bcc-a.
由y=-bax,y=bc(x+c),可解得x=-acc+a,y=bcc+a,
即P-acc+a,bcc+a.
设PQ的中点为N,则Na2cc2-a2,bc2c2-a2,
而M(3c,0).所以kMN·bc=-1,即bc24a2c-3c3=-cb,
整理得2c3=3a2c,即e2=32,解得e=62.
【一题多解】本题还可以用如下方法求解:
直线BF1的方程为y=bcx+b,
由y=bcx+b,y=-bax,得P-acc+a,bcc+a,
由y=bcx+b,y=bax,得Qacc-a,bcc-a.
从而N点坐标为a2cb2,c2b,则直线MN的方程为y-c2b=-cbx-a2cb2.从而得Mc+a2cb2,0,
又M(3c,0),则c+a2cb2=3c,得a2=2b2,得e=62.
【加固训练】已知双曲线mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为( )
【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得:
=2,
解得:m=3n,又m>0,n>0,所以m>n,即
故由椭圆mx2+ny2=1得
所以所求椭圆的离心率为:
e=
2.(5分)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(,2] B.[,2)
C.(,+∞) D.[,+∞)
【解析】选A.设双曲线的焦点在x轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率ba必需满足33<ba≤3,所以13<ba2≤3,43<1+ba2≤4,即有233<1+ba2≤2.又双曲线的离心率为e=ca=1+ba2,所以233<e≤2.
【误区警示】本题极易漏掉其缘由是对问题考虑不全,造成漏解.
【方法技巧】双曲线离心率取值范围的验证技巧
已知双曲线=1(a>0,b>0).
则:(1)当a>b>0时,双曲线的离心率满足1<e<.
(2)当a=b>0时,e=(亦称为等轴双曲线).
(3)当b>a>0时,e>.
3.(5分)(2021·济南模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,A,B为左、右顶点,点P为双曲线C在第一象限的任意一点,点O为坐标原点,若直线PA,PB,PO的斜率分别为k1,k2,k3,记m=k1k2k3,则m的取值范围为 .
【解析】由于双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,
所以e=ca=3,所以b=c2-a2=2a,设P(x,y),由于点P为双曲线C在第一象限的任意一点,
所以x2a2-y2b2=1,即x2a2-y22a2=1,由于A,B为左、右顶点,点O为坐标原点,直线PA,PB,PO的斜率分别为k1,k2,k3,所以k1k2=yx+a·yx-a=y2x2-a2=b2a2=2,
又由于双曲线渐近线为y=±2x,所以0<k3<2,所以0<m=k1k2k3<22.
答案:(0,22)
4.(12分)设A,B分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程.
(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM→+ON→=tOD→,求t的值及点D的坐标.
【解析】(1)由题意知a=
所以一条渐近线为y=x.即bx-2y=0.所以
所以b2=3,所以双曲线的方程为=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),
则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
将直线方程代入双曲线方程得
x2-16x+84=0,
则x1+x2=16,y1+y2=12.
所以
所以t=4,点D的坐标为(4,3).
5.(13分)(力气挑战题)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=3x,坐标原点到直线AB的距离为32,其中A(a,0),B(0,-b).
(1)求双曲线的方程.
(2)若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过点B作直线交双曲线于点M,N,求时,直线MN的方程.
【解析】(1)设直线AB:xa-yb=1,由题意,
所以
所以双曲线方程为x23-y29=1.
(2)由(1)得B(0,-3),B1(0,3),设M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN的斜率存在.
设直线MN:y=kx-3,
所以所以3x2-(kx-3)2=9,
整理得(3-k2)x2+6kx-18=0,①
所以x1+x2=6kk2-3,y1+y2=k(x1+x2)-6=18k2-3,
x1x2=18k2-3,y1y2=k2(x1x2)-3k(x1+x2)+9=9.
由于 = (x1,y1-3), =(x2,y2-3),
·=0,所以x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,
即18k2-3+9-54k2-3+9=0,
解得k2=5,所以k=±5代入①有解,
所以lMN:y=±5x-3.
【加固训练】双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知|OA→|,|AB→|,|OB→|成等差数列,且BF→与FA→同向.
(1)求双曲线的离心率.
(2)设直线AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
【解析】(1)设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,
由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,
得d=m,tan∠AOF=,
tan∠AOB=tan2∠AOF=
由倍角公式,得
则离心率e=
(2)不妨设过F与l1垂直的直线方程为y=- (x-c),与双曲线方程=1
联立,将a=2b,c=b代入,
化简有
解得b=3,故所求的双曲线方程为=1.
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