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课时提升作业(四)
函数及其表示
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2021·青岛模拟)若函数f(x)=|x|的定义域为M={-1,0,1},值域为N,则M∩N=( )
A.{-1,0,1} B.{0,1}
C.{0} D.{1}
【解析】选B.由题意N={0,1},所以M∩N={0,1}.
2.(2021·淮南模拟)函数y=1x-1+x+1的定义域是( )
A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)
C.[-1,1)∪(1,+∞) D.(-1,1)∪(1,+∞)
【解析】选C.由x+1≥0,x-1≠0,得x≥-1且x≠1.
3.下列四组函数中,表示同一函数的是( )
A.f(x)=|x|,g(x)=
B.f(x)=lg x2,g(x)=2lg x
C.f(x) =,g(x)=x+1
D.f(x)=·,g(x)=
【解析】选A.A中,g(x)==|x|,两个函数的定义域和对应法则相同,是同一函数;
B中的两个函数的定义域不同,故不表示同一函数;
C中,f(x)==x+1(x≠1),与g(x)=x+1两个函数的定义域不同,故不表示同一函数;
D中,f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),所以不是同一函数.
4.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【解析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,可见不存在实数a满足条件,当a≤0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件,故选A.
【一题多解】本题还可以接受如下解法:
选A.方法一:由指数函数的性质可知:2x>0,又由于f(1)=2,所以a≤0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得:a=-3.故选A.
方法二:验证法,把a=-3代入得f(a)=a+1=-2,又由于f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.
【加固训练】若函数f(x)=x2+1,x≤1,lgx,x>1,则f(f(10))= ( )
A.lg101 B.2 C.1 D.0
【解析】选B.f(10)=lg10=1,故f(f(10))=f(1)=12+1=2.
【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法
(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.
(2)分段函数型:依据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类争辩.
(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调整到已知区间上求解.
(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.
5.(2021·临沂模拟)设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的表达式是( )
A.2x+1 B.2x-1
C.2x-3 D.2x+7
【解析】选B.g(x+2)=f(x)=2x+3=2(x+2)-1,令t=x+2,则g(t)=2t-1,故g(x)=2x-1.
6.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是 ( )
【解析】选C.从球的外形可知,液体的高度开头时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.
7.(2021·太原模拟)依据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是( )
A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16
【解析】选D.由于组装第A件产品用时15分钟,
所以=15,①
所以必有4<A,且=30.②
联立①②解得c=60,A=16.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.函数y=+ln(2-x)的定义域为 .
【解析】由已知得解得-1≤x<2且x≠0,所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,2).
答案:[-1,0)∪(0,2)
9.(2021·龙岩模拟)已知f(x)=3ex-1,x<3,log3(x2-6),x≥3,则f(f(3))的值为 .
【解析】f(3)=log3(9-6)=1,所以f(f(3))=f(1)=3e0=3.
答案:3
10.(2021·杭州模拟)若f(x)= +sin x,则f(-2)+f(-1)+f(0)+f (1)+ f(2)= .
【解析】由于f(x)=+sin x,
所以f(-x)=-sin x=-sin x,
故f(x)+f(-x)=2,
则有f(2)+f(-2)=2,f(1)+f(-1)=2,而f(0)=+ sin 0=1,
所以f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=5.
答案:5
(20分钟 40分)
1.(5分)(2021·中山模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.由x2+1=1得x=0,由x2+1=3得x=±,所以函数的定义域可以是{0,},{0,-},{0,,-},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.
【加固训练】具有性质:f()=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:
①f(x)=x-;②f(x)=x+;
③f(x)=满足“倒负”交换的函数是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①
【解析】选B.①f()=-x=-f(x),满足.
②f()=+x=f(x),不满足.
③0<x<1时,f()=-x=-f(x),
x=1时,f()=0=-f(x),
x>1时,f()==-f(x),满足.
2.(5分)设函数f(x)满足f(x)=1+f12log2x,则f(2)= .
【解析】由已知得f12=1-f12·log22,则f12=12,则f(x)=1+12·log2x,故f(2)=1+12·log22=32.
答案:32
3.(5分)设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是 .
【解析】f(x)≥1等价于或由得x≤-2或0≤x<1.
由得1≤x≤10.
综上所述,x的取值范围是x≤-2或0≤x≤10.
答案:x≤-2或0≤x≤10
4.(12分)(2021·珠海模拟)设函数f(x)=且f(-2)=3,f(-1)=f(1).
(1)求f(x)的解析式.
(2)画出f(x)的图象.
【解析】(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得解得a=-1,b=1,所以f(x)=
(2)f(x)的图象如图:
5.(13分)(力气挑战题)若函数f(x)=x2-1x2+1.
(1)求f(2)f12的值.
(2)求f(3)+f(4)+…+f(2021)+f13+f14+…+f12 015的值.
【解析】(1)由于f(x)=x2-1x2+1=1-2x2+1,
所以f(2)f12=1-222+11-2122+1=-1.
(2)由f(x)=1-2x2+1得,f1x=1-21x2+1=1-2x2x2+1,所以,两式两边分别相加,得f(x)+f1x=0,所以,f(3)+f(4)+…+f(2021)+f13+f14+…+f12 015=0×2021=0.
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