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课时提升作业(五十五)
古 典 概 型
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.甲、乙两人各写一张贺年卡任凭送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 ( )
A.12 B.13 C.14 D.15
【解析】选A.(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁,乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)共四种状况,其中甲、乙将贺年卡送给同一人的状况有两种,所以选A.
2.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则满足log2xy=1的概率为 ( )
A.16 B.536 C.112 D.12
【解析】选C.由log2xy=1得2x=y.又x∈{1,2,3,4,5,6},y∈{1,2,3,4,5,6},所以满足题意的有x=1,y=2或x=2,y=4或x=3,y=6,共3种状况.所以所求的概率为336=112.
3.将一枚骰子连续抛掷两次,则向上点数之差的确定值不大于3的概率
是 ( )
A.23 B.56 C.2936 D.34
【解析】选B.抛掷骰子两次,有36种等可能的结果,如表:
1
2
3
4
5
6
1
√
√
√
√
2
√
√
√
√
√
3
√
√
√
√
√
√
4
√
√
√
√
√
√
5
√
√
√
√
√
6
√
√
√
√
所求概率P=3036=56
4.(2021·宿州模拟)一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,将这一颗骰子连续抛掷三次,观看向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的概率为 ( )
A.112 B.118 C.136 D.7108
【解析】选A.基本大事总数为6×6×6,大事“三次点数依次成等差数列”包含的基本大事有(1,1,1),(1,2,3),(3,2,1),(2,2,2),(1,3,5),(5,3,1),(2,3,4),
(4,3,2),(3,3,3),(2,4,6),(6,4,2),(3,4,5),(5,4,3),(4,4,4),(4,5,6),
(6,5,4),(5,5,5),(6,6,6)共18个,所求大事的概率P=186×6×6=112.
5.将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同,甲从袋中摸出一个小球,其号码为a,放回后,乙从今袋中再摸出一个小球,其号码为b,则使不等式a-2b+4<0成立的大事发生的概率为 ( )
A.18 B.316 C.14 D.12
【解析】选C.由题意知(a,b)的全部可能结果有4×4=16个.其中满足a-2b+4<0的有(1,3),(1,4),(2,4),(3,4),共4个,所以所求概率为14.
【加固训练】甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6).设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x,y,则满足复数x+yi的实部大于虚部的概率是 ( )
A.16 B.512 C.712 D.13
【解析】选B.总共有36种状况.当x=6时,y有5种状况;
当x=5时,y有4种状况;当x=4时,y有3种状况;
当x=3时,y有2种状况;当x=2时,y有1种状况.
所以P=5+4+3+2+136=512.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.有一个奇数列,1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组,第一组有1个数为1,其次组有2个数为3,5,第三组有3个数为7,9,11,…,依此类推,则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为 .
【解析】由已知可得前九组共有1+2+3+…+9=45个奇数,第十组共有10个奇数,分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数,其中恰为3的倍数的数有93,99,105三个,故所求概率为P=310.
答案:310
7.如图,沿田字型的路线从A往N走,且只能向右或向下走,随机地选一种走法,则经过点C的概率是 .
【解析】按规定要求从A往N走只能向右或向下,全部可能走法有:
A→D→S→J→N,A→D→C→J→N,A→D→C→M→N,A→B→C→J→N,A→B→C→M→N,A→B→F→M→N共6种,其中经过C点的走法有4种,所以所求概率P=46=23.
【一题多解】本题还可以用如下方法解决:
由于从A点动身后只允许向右或向下走,记向右走为1,向下走为2,欲到达N点必需两次向右,两次向下即有两个2两个1.
所以基本大事空间Ω={(1122),(1212),(1221),(2112),(2121),(2211)}共6种不同结果,而只有先右再下或先下再右两类情形经过C点,即前两个数字必需一个1一个2,所以大事“经过C点”含有的基本大事为(1212),(1221),(2112),(2121)共4个,
所以P=46=23.
答案:23
8.(2021·福州模拟)将一枚骰子抛掷两次,若先后毁灭的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有实根的概率为 .
【解析】将一枚骰子抛掷两次共有36种结果:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2, 3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),
(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),属于古典概型.
方程x2+bx+c=0有实根,则Δ=b2-4c≥0,即b≥2c,则A包含的结果有:(2,1),
(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),
(4,4),(5,4),(6,4),(5,5),(6,5),(5,6),(6,6),共19种.
由古典概型概率的计算公式可得P(A)=1936.
答案:1936
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下:
等级
1
2
3
4
5
频率
0.05
m
0.15
0.35
n
(1)在抽取的20个零件中,等级为5的恰有2个,求m,n.
(2)在(1)的条件下,从等级为3和5的全部零件中,任意抽取2个,求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.
【解析】(1)由频率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n=1,即m+n=0.45.由抽取的20个零件中,等级为5的恰有2个,得n=220=0.1,所以m=0.45-0.1=0.35.
(2)由(1)得,等级为3的零件有3个,记作x1,x2,x3;等级为5的零件有2个,记作y1,y2.从x1,x2,x3,y1,y2中任意抽取2个零件,全部可能的结果为(x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,
y2),共10种.记大事A为“从零件x1,x2,x3,y1,y2中任取2件,其等级相同”.则A包含的基本大事有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2),共4种.故所求概率为P(A)=410=0.4.
【加固训练】将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四周体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次,规定“正方体向上的面上的数字为a,正四周体的三个侧面上的数字之和为b”.设复数为z=a+bi.
(1)若集合A={z|z为纯虚数},用列举法表示集合A.
(2)求大事“复数在复平面内对应的点(a,b)满足a2+(b-6)2≤9”的概率.
【解析】(1)A={6i,7i,8i,9i}.
(2)基本大事的个数为24.
设“复数在复平面内对应的点(a,b)满足a2+(b-6)2≤9”的大事为B.
当a=0时,b=6,7,8,9满足a2+(b-6)2≤9;
当a=1时,b=6,7,8满足a2+(b-6)2≤9;
当a=2时,b=6,7,8满足a2+(b-6)2≤9;
当a=3时,b=6满足a2+(b-6)2≤9.
即B为(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(2,6),(2,7),
(2,8),(3,6)共计11个.
所以所求概率P=1124.
10.一个袋中有4个大小相同的小球,其中红球1个,白球2个,黑球1个,现从袋中有放回地取球,每次随机取一个.
(1)求连续取两次都是白球的概率.
(2)假设取一个红球记2分,取一个白球记1分,取一个黑球记0分,若连续取三次,则分数之和为4分的概率是多少?
【解析】(1)连续取两次的基本大事有:(红,红),(红,白1),(红,白2),(红,黑);(白1,红),(白1,白1),(白1,白2),(白1,黑);(白2,红),(白2,白1),
(白2,白2),(白2,黑),(黑,红),(黑,白1),(黑,白2),(黑,黑),共16个.
连续取两次都是白球的基本大事有:(白1,白1),(白1,白2),(白2,白1),(白2,白2),共4个,
故所求概率为416=14.
(2)连续取三次的基本大事有:(红,红,红),(红,红,白1),(红,红,白2),(红,红,黑);(红,白1,红),(红,白1,白1),(红,白1,白2),(红,白1,黑),…,共64个.
由于取一个红球记2分,取一个白球记1分,取一个黑球记0分,若连续取三次,则分数之和为4分的基本大事如下:
(红,白1,白1),(红,白1,白2),(红,白2,白1),(红,白2,白2),(白1,红,
白1),(白1,红,白2),(白2,红,白1),(白2,红,白2),(白1,白1,红),(白1,
白2,红),(白2,白1,红),(白2,白2,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红),共15个,
故所求概率为1564.
(20分钟 40分)
1.(5分)从2名男生和2名女生中,任意选择两人在星期六、星期日参与某公益活动,每天一人,则星期六支配一名男生、星期日支配一名女生的概率为
( )
A.13 B.512 C.12 D.712
【解析】选A.设两名男生为A1,A2,两名女生为B1,B2,依题意任意选择两人在星期六、星期日参与某公益活动的状况有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),
(B1,B2),(A2,A1),(B1,A1),(B2,A1),(B1,A2),(B2,A2),(B2,B1),共12种,其中星期六支配一名男生、星期日支配一名女生的状况有(A1,B2),(A1,B1),(A2,B1),(A2,B2),共4种,所以概率为13.
2.(5分)(2021·六安模拟)如图所示方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是1,2,3,4中的任何一个,允许重复.则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为 ( )
A
B
A.12 B.14 C.34 D.38
【解析】选D.只考虑A,B两个方格的排法.不考虑大小,A,B两个方格有4×4=16(种)排法.要使填入A方格的数字大于B方格的数字,则从1,2,3,4中选2个数字,大的放入A格,小的放入B格,有(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),
(2,1),共6种,故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为616=38.
3.(5分)(2021·福州模拟)投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,第一次毁灭向上的点数为a,其次次毁灭向上的点数为b,直线l1的方程为ax-by-3=0,直线l2的方程为x-2y-2=0,则直线l1与直线l2有交点的概率为 .
【解析】投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,向上的点数的结果有36种状况:(1,1),(1,2),…,(6,6),直线l1与直线l2有交点即两直线斜率不相等,b≠2a,所以除(1,2),(2,4),(3,6)这3种状况外,其余都符合题意,即直线l1与直线l2有交点的状况有33种,故所求概率为3336=1112.
答案:1112
4.(12分)已知集合P={x|x(x2+10x+24)=0},Q={y|y=2n-1,1≤n≤2,n∈N*},M=
P∪Q.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(x′,y′),且x′∈M,y′∈M,试计算:
(1)点A正好在第三象限的概率.
(2)点A不在y轴上的概率.
(3)点A正好落在区域x2+y2≤10上的概率.
【解析】由集合P={x|x(x2+10x+24)=0}可得P={-6,-4,0},由Q={y|y=2n-1,1≤n≤2,n∈N*}可得Q={1,3},则M=P∪Q={-6,-4,0,1,3},由于点A的坐标为(x′,
y′),且x′∈M,y′∈M,所以满足条件的点A的全部状况为(-6,-6),(-6,-4),(-6,0),(-6,1),(-6,3),…,(3,3),共25种.
(1)点A正好在第三象限的可能状况为(-6,-6),(-4,-6),(-6,-4),(-4,-4),共4种,故点A正好在第三象限的概率P1=425.
(2)点A在y轴上的可能状况为(0,-6),(0,-4),(0,0),(0,1),(0,3),共5种,故点A不在y轴上的概率P2=1-525=45.
(3)点A正好落在区域x2+y2≤10上的可能状况为(0,0),(1,0),(0,1),(3,1),(1,3),(3,0),(0,3),(1,1),共8种,故点A落在区域x2+y2≤10上的概率P3=825.
5.(13分)(力气挑战题)某人抛掷一枚硬币,毁灭正面、反面的概率均为12,构造数列{an},使得an=记Sn=a1+a2+a3+…+an(n∈N*).
(1)求S4=2的概率.
(2)若前两次均毁灭正面,求2≤S6≤6的概率.
【解析】(1)某人抛掷一枚硬币4次,共有24种可能.
设S4=2为大事A,则A表示抛硬币4次,恰好三次正面对上,一次反面对上,包含4种可能,所以P(A)=424=14.
(2)抛6次,若前两次均毁灭正面,则可能结果有24种.
设2≤S6≤6为大事B,S6=2表示4次中2次正面对上,2次正面对下,有6种可能;S6=4表示4次中恰好3次正面对上,1次反面对上,有4种可能;S6=6表示都是正面对上,有1种可能,则B包含6+4+1=11(种)可能,所以P(B)=1124=1116.
【加固训练】为了提高食品的平安度,某食品安检部门调查了一个海水养殖场养殖的鱼的有关状况,安检人员从这个海水养殖场中的不同位置共捕捞出100条鱼,称得每条鱼的质量(单位:kg),并将所得数据进行统计得下表.若规定超过正常生长速度(1.0～1.2kg/年)的比例超过15%,则认为所饲养的鱼有问题,否则认为所饲养的鱼没有问题.
鱼的质量
[1.00,
1.05)
[1.05,
1.10)
[1.10,
1.15)
[1.15,
1.20)
[1.20,
1.25)
[1.25,
1.30)
鱼的条数
3
20
35
31
9
2
(1)依据数据统计表,估量数据落在[1.20,1.30)中的概率约为多少,并推断此养殖场所饲养的鱼是否存在问题?
(2)上面捕捞的100条鱼中间,从质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)的鱼中,任取2条鱼来检测,求恰好所取得的鱼的质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)各有1条的概率.
【解析】(1)捕捞的100条鱼中间,数据落在[1.20,1.25)的概率约为P1=9100=0.09;
数据落在[1.25,1.30)的概率约为P2=2100=0.02;
所以数据落在[1.20,1.30)中的概率约为P=P1+P2=0.11.
由于0.11×100%=11%<15%,
故饲养的这批鱼没有问题.
(2)质量在[1.00,1.05)的鱼有3条,把这3条鱼分别记作A1,A2,A3,
质量在[1.25,1.30)的鱼有2条,分别记作B1,B2,那么全部的可能结果有:
{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},
{A2,B1}{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10种,
而恰好所取得的鱼的质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)各有1条有:{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共6种,所以恰好所取得的鱼的质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)各有1条的概率为610=35.
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