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开卷速查(五十四) 抛物线
A级 基础巩固练
1．已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )
A．2∶ B．1∶2
C．1∶ D．1∶3
解析：射线FA的方程为x＋2y－2＝0(x≥0)．
如图所示，知tanα＝，
∴sinα＝.
过M点作准线的垂线，交准线于点G，
由抛物线的定义知|MF|＝|MG|，
∴＝＝sinα＝＝.故选C.
答案：C
2．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
解析：利用|PF|＝xP＋＝4，可得xP＝3，
∴yP＝±2.∴S△POF＝|OF|·|yP|＝2.
故选C项．
答案：C
3．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.
又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)·＋(y－y0)y＝0.
将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，
即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.
由y＝2px0，得16＝2p，
解之得p＝2，或p＝8.
所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.
答案：C
4．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A. y＝12x2
B. y＝12x2或y＝－36x2
C. y＝－36x2
D. y＝x2或y＝－x2
解析：将y＝ax2化为x2＝y，当a>0时，准线y＝－，由已知得3＋＝6，∴＝12，∴a＝.当a<0时，准线y＝－，由已知得|3＋|＝6，∴a＝－或a＝(舍)．∴抛物线方程为y＝或y＝－x2，故选D.
答案：D
5．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：由抛物线方程知焦点F，
∴直线l为y＝2，与y轴交点A.
∴S△OAF＝·|OA|·|OF|
＝·|－|·||＝＝4.
∴a＝±8.
∴抛物线方程为y2＝±8x，故选B.
答案：B
6．已知直线y＝k(x－m)与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D.若动点D的坐标满足方程x2＋y2－4x＝0，则m＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：设点D(a，b)，则由OD⊥AB于D，得则b＝－，a＝－bk；又动点D的坐标满足方程x2＋y2－4x＝0，即a2＋b2－4a＝0，将a＝－bk代入上式，得b2k2＋b2＋4bk＝0，即bk2＋b＋4k＝0，－－＋4k＝0，又k≠0，则(1＋k2)(4－m)＝0，因此m＝4，故选D.
答案：D
7．已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点__________．
解析：由于动圆的圆心在抛物线y2＝4x上，且x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆确定过抛物线的焦点(1,0)．
答案：(1,0)
8．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足＝＋ (O为坐标原点)，则△BOF的面积是__________．
解析：由题可知F(1,0)，可设过焦点F的直线方程为y＝k(x－1)(可知k存在)，则A(0，－k)，
∴B(1，－k)，由点B在抛物线上，得k2＝4，k＝±2，即B(1，±2)，
S△BOF＝·|OF|·|yB|＝×1×2＝1.
答案：1
9．已知直线y＝k(x－2)(k＞0)与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为__________．
解析：直线y＝k(x－2)恰好经过抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由可得ky2－8y－16k＝0，由于|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB，则yA＋yB＝－2yB＋yB＝，所以yB＝－，yA·yB＝－16，所以－2y＝－16，即yB＝±2，又k＞0，故k＝2.
答案：2
10．已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)，直线y＝kx＋2与E交于A、B两点，且·＝2，其中O为原点．
(1)求抛物线E的方程；
(2)点C坐标为(0，－2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：k＋k－2k2为定值．
解析：(1)将y＝kx＋2代入x2＝2py，得x2－2pkx－4p＝0.
其中Δ＝4p2k2＋16p＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝2pk，x1x2＝－4p.
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4p＋4.
由已知，－4p＋4＝2，p＝.
所以抛物线E的方程x2＝y.
(2)由(1)知，x1＋x2＝k，x1x2＝－2.
k1＝＝＝＝x1－x2，
同理k2＝x2－x1，
所以k＋k－2k2＝2(x1－x2)2－2(x1＋x2)2
＝－8x1x2＝16.
B级 力气提升练
11．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )
A. B．
C．2 D.－1
解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
答案：D
12．已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：由题可知抛物线焦点坐标为F(4,0)．过点A作直线AA′垂直于抛物线的准线，垂足为A′，依据抛物线定义知，|AA′|＝|AF|，在△AA′K中，|AK|＝|AA′|，故∠KAA′＝45°，所以直线AK的倾斜角为45°，直线AK的方程为y＝x＋4，代入抛物线方程y2＝16x得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8.所以△AFK为直角三角形，故△AFK的面积为×8×8＝32.
答案：D
13．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得
y＝4x1，①
y＝4x2，②
∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)．
∴y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．
14．[2022·安徽]如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0)和E2：y2＝2p2x(p2＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．
(1)证明：A1B1∥A2B2；
(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．
解析：(1)设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，则由得A1，
由得A2.
同理可得B1，B2.
所以＝
＝2p1，
＝
＝2p2.
故＝，所以A1B1∥A2B2.
(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2.
所以△A1B1C1∽△A2B2C2.
因此＝2.
又由(1)中的＝知＝.
故＝.
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