1、开卷速查(五十四)抛物线A级基础巩固练1已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|()A2B12C1D13解析：射线FA的方程为x2y20(x0)如图所示，知tan，sin.过M点作准线的垂线，交准线于点G，由抛物线的定义知|MF|MG|，sin.故选C.答案：C2O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2C2D4解析：利用|PF|xP4，可得xP3，yP2.SPOF|OF|yP|2.故选C项答案：C3设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF
2、|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x05，则x05.又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(xx0)(yy0)y0.将x0，y2代入得px084y00，即4y080，所以y04.由y2px0，得162p，解之得p2，或p8.所以C的方程为y24x或y216x.故选C.答案：C4点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A. y12x2B. y12x2或y36x2C. y36x2D. yx2或y
3、x2解析：将yax2化为x2y，当a0时，准线y，由已知得36，12，a.当a0时，准线y，由已知得|3|6，a或a(舍)抛物线方程为y或yx2，故选D.答案：D5设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24x By28xCy24xDy28x解析：由抛物线方程知焦点F， 直线l为y2，与y轴交点A.SOAF|OA|OF|4.a8.抛物线方程为y28x，故选B.答案：B6已知直线yk(xm)与抛物线y22px(p0)交于A、B两点，且OAOB，ODAB于D.若动点D的坐标满足方程x2y24x0，则m()A1
4、B2C3D4解析：设点D(a，b)，则由ODAB于D，得则b，abk；又动点D的坐标满足方程x2y24x0，即a2b24a0，将abk代入上式，得b2k2b24bk0，即bk2b4k0，4k0，又k0，则(1k2)(4m)0，因此m4，故选D.答案：D7已知动圆圆心在抛物线y24x上，且动圆恒与直线x1相切，则此动圆必过定点_解析：由于动圆的圆心在抛物线y24x上，且x1是抛物线y24x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆确定过抛物线的焦点(1,0)答案：(1,0)8过抛物线y24x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足 (O为坐标原点)，则BOF的面积是_解析：由题可知F(1,0)，
5、可设过焦点F的直线方程为yk(x1)(可知k存在)，则A(0，k)，B(1，k)，由点B在抛物线上，得k24，k2，即B(1，2)，SBOF|OF|yB|121.答案：19已知直线yk(x2)(k0)与抛物线y28x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|2|FB|，则k的值为_解析：直线yk(x2)恰好经过抛物线y28x的焦点F(2,0)，由可得ky28y16k0，由于|FA|2|FB|，所以yA2yB，则yAyB2yByB，所以yB，yAyB16，所以2y16，即yB2，又k0，故k2.答案：210已知抛物线E：x22py(p0)，直线ykx2与E交于A、B两点，且2，其中O为原点(
6、1)求抛物线E的方程；(2)点C坐标为(0，2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：kk2k2为定值解析：(1)将ykx2代入x22py，得x22pkx4p0.其中4p2k216p0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22pk，x1x24p.x1x2y1y2x1x24p4.由已知，4p42，p.所以抛物线E的方程x2y.(2)由(1)知，x1x2k，x1x22.k1x1x2，同理k2x2x1，所以kk2k22(x1x2)22(x1x2)28x1x216.B级力气提升练11已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A.BC2
7、D.1解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.答案：D12已知抛物线y22px的焦点F与双曲线1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|AF|，则AFK的面积为()A4 B8C16D32解析：由题可知抛物线焦点坐标为F(4,0)过点A作直线AA垂直于抛物线的准线，垂足为A，依据抛物线定义知，|AA|AF|，在AAK中，|AK|AA|，故
8、KAA45，所以直线AK的倾斜角为45，直线AK的方程为yx4，代入抛物线方程y216x得y216(y4)，即y216y640，解得y8.所以AFK为直角三角形，故AFK的面积为8832.答案：D13如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)点P(1,2)在抛物线上，222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率
9、为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y4x1，y4x2，y12(y22)y1y24.由得，yy4(x1x2)，kAB1(x1x2)142022安徽如图，已知两条抛物线E1：y22p1x(p10)和E2：y22p2x(p20)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点(1)证明：A1B1A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值解析：(1)设直线l1，l2的方程分别为yk1x，yk2x(k1，k20)，则由得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以2p1，2p2.故，所以A1B1A2B2.(2)由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2.所以A1B1C1A2B2C2.因此2.又由(1)中的知.故.
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