2022届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分-开卷速查52-椭圆.docx

开卷速查(五十二)　椭　圆
A级　基础巩固练
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2　　　B．6　　　C．4　　　D．12

解析：如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝4.
答案：C
2．已知2，m,8构成一个等比数列，则圆锥曲线＋＝1的离心率为(　　)
A. B．
C.或 D.或
解析：由于2，m,8构成一个等比数列，所以m2＝2×8＝16，即m＝±4.若m＝4，则圆锥曲线方程为＋＝1，此时为椭圆，其中a2＝4，b2＝2，c2＝4－2＝2，所以a＝2，c＝，离心率为e＝＝.若m＝－4，则圆锥曲线方程为－＝1，此时为双曲线，其中a2＝2，b2＝4，c2＝4＋2＝6，所以a＝，c＝，离心率为e＝＝＝.所以选C.
答案：C
3．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　)
A．4 B．5
C．7 D．8
解析：将椭圆的方程转化为标准形式为＋＝1，
明显m－2＞10－m，即m＞6且()2－()2＝22，解得m＝8.
答案：D
4．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m＜0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为(　　)
A. B．1
C．2 D．4
解析：圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，
则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m＜0)，
∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．
由题意知直线l的方程为x＝－c，
又∵直线l与圆M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.
答案：C
5．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5 B．7
C．13 D．15
解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
答案：B
6．椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是__________．
解析：设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
则＝(x＋，y)，＝(x－，y)．
∵∠F1PF2为钝角，∴·＜0，
即x2－3＋y2＜0，①
∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－＜0，
x2＜2，∴x2＜.
解得－＜x＜，∴x∈.
答案：
7．设椭圆＋＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为__________．
解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是__________．

解析：设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.
又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，
当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．
此时4a＝12，则a＝3.
故椭圆方程为＋＝1，所以c＝2，
所以e＝＝.
答案：
9．椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于__________．

解析：∵直线y＝(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为60°，
∴∠MF1F2＝60°，
∠MF2F1＝30°.
∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M.
∵|MF1|＝c，|MF1|＋|MF2|＝2a，
∴|MF2|＝2a－c.
∵|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2.
∴c2＋(2a－c)2＝4c2，即c2＋2ac－2a2＝0.
∴e2＋2e－2＝0，解得e＝－1.
答案：－1
10．[2022·课标全国Ⅱ]设F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解析：(1)依据c＝及题设知M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，
＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.　①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.　②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
B级　力气提升练
11．[2022·福建]设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)
A．5 B．＋
C．7＋ D．6
解析：设圆的圆心为C，则C(0,6)，半径为r＝，
点C到椭圆上的点Q(cosα，sinα)的距离|CQ|＝ ＝＝≤＝5，
当且仅当sinα＝－时取等号，
所以|PQ|≤|CQ|＋r＝5＋＝6，
即P，Q两点间的最大距离是6，故选D.
答案：D
12．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)(　　)
A．必在圆x2＋y2＝2内
B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外
D．以上三种情形都有可能
解析：由于椭圆的离心率e＝，所以＝，即a＝2c，b＝＝＝c，因此方程ax2＋bx－c＝0可化为2cx2＋cx－c＝0，
又c≠0，∴2x2＋x－1＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝－
x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝＜2，即点(x1，x2)在x2＋y2＝2内．
答案：A
13．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e.
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点．若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．
解析：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，
由于|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c.
整理得22＋－1＝0，解得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，
可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，
直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c.
得方程组的解
不妨设A，B(0，－c)，
所以|AB|＝＝c.
于是|MN|＝|AB|＝2c.
圆心(－1，)到直线PF2的距离
d＝＝.
由于d2＋2＝42，
所以(2＋c)2＋c2＝16.
整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
14．[2022·天津]设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切．求直线l的斜率．
解析：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)．由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，
又b2＝a2－c2，则＝.
所以，椭圆的离心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.
故椭圆方程为＋＝1.
设P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.
又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.　①
又由于点P在椭圆上，故＋＝1.　②
由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c，代入①得y0＝，则点P的坐标为.
设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.
设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±.
所以，直线l的斜率为4＋或4－.