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开卷速查(五十三) 双曲线
A级 基础巩固练
1．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．1或5 B．6
C．7 D．9
解析：由渐近线方程3x－2y＝0，知＝.又b2＝9，所以a＝2，从而|PF2|＝7，故选C.
答案：C
2．与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1
C.－＝1 D.－x2＝1
解析：椭圆＋＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)，则解得m＝n＝2，故选C.
答案：C
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝＝，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案：A
4．已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( )
A. B．
C. D.
解析：不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.则焦点到渐近线的距离为＝c，即b＝c，从而b2＝c2＝c2－a2，所以c2＝a2，即e2＝，所以离心率e＝.
答案：A
5．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，) B．(1，]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则由题意得＞2.
∴e＝＝＞＝.
答案：C
6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：依题意可知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，c＝5，而双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，所以＝因此，a＝3，b＝4.
答案：C
7．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝__________.
解析：由于双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1，所以椭圆方程为＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．
答案：5
8．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为__________．
解析：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5，
所以|PQ|＝4b＝16＞2a，
又由于A(5,0)在线段PQ上，
所以P，Q在双曲线的一支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：
所以|PF|＋|QF|＝28.
即△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.
答案：44
9．已知点F、A分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为__________．
解析：依题意得F(－c,0)，A(a,0)，又B(0，b)，则＝(c，b)，＝(－a，b)．由·＝0，得b2＝ac，所以c2－a2＝ac，＝1，即e－＝1，e2－e－1＝0，解得e＝.又e＞1，所以e＝，即双曲线的离心率等于.
答案：
10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解析：(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b.
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4.
∴a2＝b2＝2.
∴双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1.
∴x0＝y0.①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，
∴x0＝c.
∴点A的坐标为.
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又∵a2＋b2＝c2，
∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
∴34－82＋4＝0，
∴(3e2－2)(e2－2)＝0，
∵e＞1，∴e＝，∴双曲线的离心率为.
B级 力气提升练
11．直线y＝x与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)左右两支分别交于M、N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|＝|MO|，则双曲线的离心率等于( )
A.＋ B．＋1
C.＋1 D．2
解析：由题意知|MO|＝|NO|＝|FO|，∴△MFN为直角三角形，且∠MFN＝90°，取左焦点为F0，连接NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形．
又∵∠MFN＝90°，∴四边形NFMF0为矩形，
∴|MN|＝|F0F|＝2c，又∵直线MN的倾斜角为60°，即∠NOF＝60°，
∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝c，
由双曲线定义知|MF|－|MF0|＝c－c＝2a，
∴e＝＝＋1.
答案：B
12．已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1,2) B．(，2)
C．(，2) D．(2,3)
解析：由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．依据对称性，只要∠AEF＜即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|＜|EF|就能使∠AEF＜，即＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即c2－ac－2a2＜0，即e2－e－2＜0，即－1＜e＜2.又e＞1，故1＜e＜2.
答案：A
13．如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.
(1)求双曲线的离心率e；
(2)求菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值.
解析：(1)由△B2OF2的面积可得a＝bc，
∴a4－3a2c2＋c4＝0.
∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝.
∴e＝.
(2)设∠B2F1O＝θ，则sinθ＝，cosθ＝，＝＝＝＝e2－＝.
14．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解析：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理得
(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故
解得k的取值范围是－2<k<－.
(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
则由①式得②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)．
则由FA⊥FB得：(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.
即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.
整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③
把②式及c＝代入③式化简得
5k2＋2k－6＝0.
解得k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)，
可知存在k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
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