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开卷速查(十) 函数的图像
A级 基础巩固练
1．[2022·福建]若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
A
B
C
D
解析：由于函数y＝logax过点(3,1)，所以1＝loga3，解得a＝3，所以y＝3－x不行能过点(1,3)，排解A；y＝(－x)3＝－x3不行能过点(1,1)，排解C；y＝log3(－x)不行能过点(－3，－1)，排解D.故选B.
答案：B
2．[2022·课标全国Ⅰ]如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图像大致为( )
A
B
C
D
解析：由题意知，f(x)＝|cosx|·sinx，当x∈时，f(x)＝cosx·sinx＝sin2x；当x∈时，f(x)＝－cosx·sinx＝－sin2x，故选B.
答案：B
3．[2022·浙江]在同始终角坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图像可能是( )
A
B
C
D
解析：当a＞1时，函数f(x)＝xa(x＞0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图像性质可知C错；当0＜a＜1时，函数f(x)＝xa(x＞0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1,0)，排解A，又由幂函数的图像性质可知B错，因此选D.
答案：D
4．函数f(x)＝sinx·ln|x|的部分图像为( )
A
B
C
D
解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝sin(－x)·ln|－x|＝－sinx·ln|x|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，其图像关于原点对称，排解C、D两选项．又∵f(1)＝0，且当0＜x＜1时，f(x)＜0，∴排解B选项，故选A.
答案：A
5．设D＝{(x，y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t(t∈[－1,1])之间的部分的面积”为S，则函数S＝f(t)的图像的大致外形为( )
A
B
C
D
解析：如图平面区域D为阴影部分，当t＝－1时，S＝0，排解D项；当t＝－时，S>Smax，排解A、B.
答案：C
6．已知f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(0,1) D.(－∞，＋∞)
解析：x≤0时，f(x)＝2－x－1,0＜x≤1时，－1＜x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1，故x＞0时，f(x)是周期函数．如图：
欲使方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数解，即函数f(x)的图像与直线y＝x＋a有两个不同的交点，故a＜1.
答案：A
7．函数f(x)＝图像的对称中心为__________．
解析：f(x)＝＝1＋，把函数y＝的图像向上平移1个单位，即得函数f(x)的图像．由y＝的对称中心为(0,0)，可得平移后的f(x)图像的对称中心为(0,1)．
答案：(0,1)
8．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为__________．
解析：当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b，
则得
∴y＝x＋1.
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，
∵图像过点(4,0)，
∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.
答案：f(x)＝
9．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是__________．
解析：画出分段函数f(x)的图像如图所示，结合图像可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图像与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)．
答案：(0,1)
10．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)推断函数f(x)的单调性；
(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．
解析：f(x)＝
作出图像如图所示．
(1)f(x)在[1,2]，[3，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)，(2,3)上是减函数．
(2)由图像可知，y＝f(x)与y＝m图像有四个不同的交点，则0＜m＜1，∴集合M＝{m|0＜m＜1}．
B级 力气提升练
11．设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于( )
A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称
C．直线y＝1对称 D.直线x＝1对称
解析：f(x－1)的图像是f(x)的图像向右平移1个单位而得到的，又f(1－x)＝f[－(x－1)]的图像是f(－x)的图像也向右平移1个单位而得到的，因f(x)与f(－x)的图像关于y轴(即直线x＝0)对称，因此，f(x－1)与f[－(x－1)]的图像关于直线x＝1对称，故选D项．
答案：D
12．[2022·湖南]已知函数f(x)＝x2＋ex－(x＜0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A. B.(－∞，)
C. D.
解析：由题意可得，当x＞0时，y＝f(－x)与y＝g(x)的图像有交点，即g(x)＝f(－x)有正解，即x2＋ln(x＋a)＝(－x)2＋e－x－有正解，即e－x－ln(x＋a)－＝0有正解，令F(x)＝e－x－ln(x＋a)－，则F′(x)＝－e－x－＜0，故函数F(x)＝e－x－ln(x＋a)－在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g(x)＝f(－x)有正解，则存在正数x使得F(x)≥0，即e－x－ln(x＋a)－≥0，所以a≤ee－x－－x，又y＝ee－0－－x在(0，＋∞)上单调递减，所以a＜ee－x－－0＝e，故选B.
答案：B
13．设函数f(x)＝x＋(x∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图像为C1，C1关于点A(2,1)对称的图像为C2，C2对应的函数为g(x)．
(1)求函数y＝g(x)的解析式，并确定其定义域；
(2)若直线y＝b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标．
解析：(1)设P(u，v)是y＝x＋上任意一点，
∴v＝u＋①.
设P关于A(2,1)对称的点为Q(x，y)，
∴⇒
代入①得2－y＝4－x＋⇒y＝x－2＋.
∴g(x)＝x－2＋(x∈(－∞，4)∪(4，＋∞))．
(2)联立⇒x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0，
∴Δ＝(b＋6)2－4×(4b＋9)＝b2－4b＝0⇒b＝0或b＝4.
∴当b＝0时，交点为(3,0)；当b＝4时，交点为(5,4)．
14．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图像并推断其零点个数；
(3)依据图像指出f(x)的单调递减区间；
(4)依据图像写出不等式f(x)＞0的解集；
(5)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三个不相等的实根}．
解析：(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝
∴函数f(x)的图像如图：
由图像知f(x)有两个零点．
(3)从图像上观看可知：f(x)的单调递减区间为[2,4]．
(4)从图像上观看可知：不等式f(x)＞0的解集为{x|0＜x＜4，或x＞4}．
(5)由图像可知若y＝f(x)与y＝m的图像有三个不同的交点，则0＜m＜4，故集合M＝{m|0＜m＜4}．
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