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开卷速查(六十二) 排列与组合
A级 基础巩固练
1．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )
A．232 B．252
C．472 D．484
解析：由题意可知，抽取的三张卡片可以分为两类，一类为不含红色的卡片，一类是含一张红色的卡片，第一类抽取法的种数为C－3C＝208，其次类抽取法的种数为C·C＝264，故而总的种数为208＋264＝472.
答案：C
2．将2名老师，4名同学分成2个小组，分别支配到甲、乙两地参与社会实践活动，每个小组由1名老师和2名同学组成，不同的支配方案共有( )
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
解析：由于2名老师和4名同学按要求分成两组共有CC种分法，再分到甲、乙两地有CCA＝12种，所以选A.
答案：A
3．两人进行乒乓球竞赛，先赢3局者获胜，决出胜败为止，则全部可能毁灭的情形(各人输赢局次的不同视为不怜悯形)共有( )
A．10种 B．15种
C．20种 D．30种
解析：分三种状况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C＝6(种)情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C＝12(种)情形．全部可能毁灭的情形共有2＋6＋12＝20(种)．
答案：C
4．新学期开头，某校接受6名师大毕业生到校学习，学校要把他们支配到三个班级，每个班级2人，其中甲必需在高一班级，乙和丙均不能在高三班级，则不同的支配种数为( )
A．18 B．15
C．12 D．9
解析：先支配高三班级，从除甲、乙、丙的3人中选2人，有C种选法；再支配高一班级，有C种方法，最终支配高二班级，有C种方法，由分步乘法计数原理，得共有CCC＝9(种)支配方法．
答案：D
5．三位数中，假如十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有( )
A．72个 B．120个
C．240个 D．360个
解析：从0～9这10个数字中任选3个，有C种，这三个数字组成的凹数有A个，故共有CA＝240(个)．
答案：C
6．用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字毁灭两次的四位数的个数为( )
A．144 B．120
C．108 D．72
解析：若四位数中不含0，则有CCA＝36(种)；若四位数中含有一个0，则有CCCA＝54(种)；若四位数中含有两个0，则有CA＝18(种)，∴共有36＋54＋18＝108(种)，选C.
答案：C
7．某工厂将甲、乙等五名新聘请员工支配到三个不同的车间，每个车间至少支配一名员工，且甲、乙两名员工必需分到同一个车间，则不同分法的种数为__________．
解析：若甲、乙分到的车间不再分人，则分法有C×A×C＝18种；若甲、乙分到的车间再分一人，则分法有3×A×C＝18(种)．所以满足题意的分法共有18＋18＝36(种)．
答案：36
8．从5名外语系高校生中选派4名同学参与广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有两人参与，交通和礼仪各有1人参与，则不同的选派方法共有__________种．
解析：本题可分三步完成．
第一步：先从5人中选出2名翻译，共C种选法，
其次步：从剩余3人中选1名交通义工，共C种选法，
第三步：从剩余两人中选1名礼仪义工，共C种选法，
所以不同的选派方法共有CCC＝60(种)．
答案：60
9．有一个不规章的六面体盒子(六个面大小不同)，现要用红、黄、蓝三种颜色刷盒子的六个面，其中一种颜色刷3个面，一种颜色刷两个面，一种颜色刷1个面，则刷这个六面体盒子的刷法有__________种．
解析：可先分组后支配，即将6个面分成3,2,1三组共有CCC种分组方法，然后每一组用三种颜色去刷，各有A种，由分步计数原理可知共有CCC·A＝360(种)刷法．
答案：360
10．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数：
(1)能组成多少个五位数？
(2)能组成多少个正整数？
(3)能组成多少个六位奇数？
(4)能组成多少个能被25整除的四位数？
解析：(1)由于万位上数字不能是0，所以万位数字的选法有A种，其余四位上的排法有A种，所以共可组成AA＝600(个)五位数．
(2)组成的正整数，可以是一位、两位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法种数依次为A，AA，AA，AA，AA，AA，
所以可组成A＋AA＋AA＋AA＋AA＋AA＝1 630(个)正整数．
(3)首位与个位的位置是特殊位置，0,1,3,5是特殊元素，先选个位数字，有A种不同的选法；再考虑首位，有A种不同的选法，其余四个位置的排法有A种．
所以能组成AAA＝288(个)六位奇数．
(4)能被25整除的四位数的特征是最终两位数字是25或50，这两种形式的四位数依次有A·A和A个，
所以，能组成AA＋A＝21(个)能被25整除的四位数．
B级 力气提升练
11．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是( )
A．9个 B．10个
C．18个 D．20个
解析：记基本大事为(a，b)，则基本大事空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本大事，而lga－lgb＝lg，其中基本大事(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lg的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)，故选C项．
答案：C
12．[2021·江西景德镇质检]工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺丝，第一阶段，首先任凭拧一个螺丝，接着拧它对角线上(距离它最远的，下同)螺丝，再任凭拧第三个螺丝，第四个也拧它对角线上螺丝，第五个和第六个以此类推，但每个螺丝都不要拧死；其次阶段，将每个螺丝拧死，但不能连续拧相邻的2个螺丝，则不同的固定方式有__________种．
解析：第一阶段，先任凭拧一个螺丝，接着拧它对角线上的，有C种方法，再任凭拧第三个螺丝，和其对角线上的，有C种方法，然后任凭拧第五个螺丝，和其对角线上的，有C种方法；其次阶段：先任凭拧一个螺丝，有C种方法，再任凭拧不相邻的，若拧的是对角线上的，则还有4种拧法，若拧的是不相邻斜对角上的，则还有6种拧法．完成上述过程分类进行，所以总共的固定方式有CCCC×(4＋6)＝2 880种．
答案：2 880
13．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
解析：如图六个位置.若C放在第一个位置，则满足条件的排法共有A种状况；若C放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A，B，再在余下的3个位置排D，E，F，共AA种排法；若C放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A，B，其余位置排D，E，F，则共有AA种排法或在4,5,6，共3个位置中选2个位置排A，B，再在其余3个位置排D，E，F，共有AA种排法；若C放在第4个位置，则有AA＋AA种排法；若C放在第5个位置，则有AA种排法；若C放在第6个位置，则有A种排法．
综上，共有2(A＋AA＋AA＋AA)＝480(种)排法．
答案：480
14．有6本不同的书按下列支配方式支配，问共有多少种不同的支配方式？
(1)分成1本、2本、3本三组；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
(3)分成每组都是2本的三组；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．
解析：(1)分三步：先选一本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；对于余下的三本全选有C种选法，由分步乘法计数原理知有CCC＝60(种)选法．
(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再支配的问题，因此共有CCCA＝360(种)选法．
(3)先分三步，则应是CCC种选法，但是这里面毁灭了重复，不妨记6本书分别为A、B、C、D、E、F，若第一步取了(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB、EF、CD)，(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、(EF、AB、CD)共有A种状况，而且这A种状况仅是AB、CD、EF的挨次不同，因此，只算作一种状况，故支配方式有＝15(种)．
(4)在问题(3)的基础上再支配，故支配方式有
·A＝CCC＝90(种)．
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