1、开卷速查(五十五)曲线与方程A级基础巩固练1已知点F，直线l：x，点B是l上的动点若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线B椭圆C圆D抛物线解析：由已知得|MF|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D.答案：D2如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内确定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线D圆解析：由条件知|PM|PF|.|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆答案：A3已知点A(1,
2、0)，直线l：y2x4，点R是直线l上的一点，若，则点P的轨迹方程为()Ay2x By2xCy2x8Dy2x4解析：设P(x，y)，R(x1，y1)，由知，点A是线段RP的中点，即点R(x1，y1)在直线y2x4上，y12x14，y2(2x)4，即y2x.答案：B4已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10D2xy50解析：设Q(x，y)，则P为(2x,4y)，代入2xy30得2xy50.答案：D5设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹
3、方程为()Ay22x B(x1)2y24Cy22xD(x1)2y22解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)连接MA，则MAPA，且|MA|1，又|PA|1，|PM|，即|PM|22，(x1)2y22.答案：D6设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1,0)是圆内确定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.1B1C.1 D.1解析：M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的轨迹为椭圆a，c1，则b2a2c2，椭圆的标准方程为1.答案：D7已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)，B(1,0
4、)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，|FA|FB|4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)答案：1(y0)8ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_解析：如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.依据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)答案：1(x3)9动点P到点F
5、(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则动点P的轨迹方程为_解析：由抛物线定义知点P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，设抛物线的方程为y22px，从而可知p4，所以动点P的轨迹方程为y28x.答案：y28x10已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点F1，F2在y轴上，它的一个顶点为A(，0)，且中心O到直线AF1的距离为焦距的，过点M(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，点N在线段PQ上(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM|NQ|PN|MQ|，求动点N的轨迹方程解析：(1)设椭圆的标准方程是1(ab0)由于椭圆的一个顶点是A(，0)，故b22.依据题意得AF1O，sin AF1O
6、，即a2b，a28，所以椭圆的标准方程是1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x，y)，由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)直线l的方程与椭圆方程联立消去y得(k24)x24k2x4k280.由16k44(k24)(4k28)0，得2k2.依据根与系数的关系得x1x2，x1x2.又|PM|NQ|PN|MQ|，即(2x1)(x2x)(xx1)(2x2)解得x1，代入直线l的方程得yk，y(2,2)所以动点N的轨迹方程为x1，y(2,2)B级力气提升练11设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点若
7、2，且O1，则点P的轨迹方程是()A.x23y21(x0，y0)B.x23y21(x0，y0)C3x2y21(x0，y0)D3x2y21(x0，y0)解析：设A(a,0)，B(0，b)，a0，b0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，即ax0，b3y0.点Q(x，y)，故由1，得(x，y)(a，b)1，即axby1.将a，b代入上式得所求的轨迹方程为x23y21(x0，y0)答案：A12设点P是圆x2y24上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)若直线l：yx1与(1)中的轨迹C交于A，B两点，求弦长|AB|的值解析：(1)设点M(x，y)，P(
8、x0，y0)，则由题意知P0(x0,0)由(x0x，y)，(0，y0)，且，得(x0x，y)(0，y0)于是x0x且y0y，又xy4，x2y24.点M的轨迹C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立得7x28x80，x1x2，且x1x2.则|AB|x2x1|.13如图，抛物线C1：x24y，C2：x22py(p0)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)当x01时，切线MA的斜率为.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)解析：(1)由于抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为y，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为，故切线MA的方程为y(x1).由于点M(1，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0(2)，y0.由得p2.(2)设N(x，y)，A，B，x1x2，由N为线段AB中点知x，y.切线MA，MB的方程为y(xx1)，y(xx2).由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0，y0.由于点M(x0，y0)在C2上，即x4y0，所以x1x2.由得x2y，x0.当x1x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2y.因此AB中点N的轨迹方程为x2y.
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