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开卷速查(五十五) 曲线与方程
A级 基础巩固练
1．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
解析：由已知得|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D.
答案：D
2．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内确定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
解析：由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R＞|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
答案：A
3．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为( )
A．y＝－2x B．y＝2x
C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
解析：设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，∴即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
答案：B
4．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
解析：设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.
答案：D
5．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝＝，
即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.
答案：D
6．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内确定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B．＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析：∵M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆．
∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：D
7．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是__________．
解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，
∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．
答案：＋＝1(y≠0)
8．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是__________．
解析：如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，
|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
依据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞3)．
答案：－＝1(x＞3)
9．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则动点P的轨迹方程为__________．
解析：由抛物线定义知点P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，设抛物线的方程为y2＝2px，从而可知p＝4，所以动点P的轨迹方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
10．已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点F1，F2在y轴上，它的一个顶点为A(，0)，且中心O到直线AF1的距离为焦距的，过点M(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，点N在线段PQ上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，求动点N的轨迹方程．
解析：(1)设椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)．
由于椭圆的一个顶点是A(，0)，故b2＝2.
依据题意得∠AF1O＝，sin ∠AF1O＝，即a＝2b，a2＝8，
所以椭圆的标准方程是＋＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x，y)，由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)．
直线l的方程与椭圆方程联立消去y得
(k2＋4)x2－4k2x＋4k2－8＝0.
由Δ＝16k4－4(k2＋4)(4k2－8)＞0，得－2＜k＜2.
依据根与系数的关系得
x1＋x2＝，x1x2＝.
又|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，
即(2－x1)(x2－x)＝(x－x1)(2－x2)．
解得x＝1，
代入直线l的方程得y＝－k，y∈(－2,2)．
所以动点N的轨迹方程为x＝1，y∈(－2,2)．
B级 力气提升练
11．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且O·＝1，则点P的轨迹方程是( )
A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)
B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)
D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
解析：设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入上式得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．
答案：A
12．设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且＝.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)若直线l：y＝x＋1与(1)中的轨迹C交于A，B两点，求弦长|AB|的值．
解析：(1)设点M(x，y)，P(x0，y0)，则由题意知P0(x0,0)．
由＝(x0－x，－y)，＝(0，－y0)，且＝，
得(x0－x，－y)＝(0，－y0)．
于是x0＝x且y0＝y，
又x＋y＝4，∴x2＋y2＝4.
∴点M的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立得7x2＋8x－8＝0，
∴x1＋x2＝－，且x1x2＝－.
则|AB|＝＝|x2－x1|＝·＝·＝.
13．如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
解析：(1)由于抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)
的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为，故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.
由于点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，
于是y0＝－(2－)＋＝－，①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2，由N为线段AB中点知x＝，③
y＝.④
切线MA，MB的方程为
y＝(x－x1)＋，⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为
x0＝，y0＝.
由于点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y.
因此AB中点N的轨迹方程为x2＝y.
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