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开卷速查(五十) 圆的方程
A级 基础巩固练
1．[2021·天津重点高中联考]圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：设圆心为(0，a)，则＝1，
∴a＝2.故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
答案：A
2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0确定不经过( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为，则a＜0，b＞0.直线y＝－x－，k＝－＞0，－＞0，直线不经过第四象限．
答案：D
3．圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
解析：设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，
∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，∵点(3,1)在圆上，
∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.
∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
答案：B
4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D.∪[1，＋∞)
解析：联立解得P(a,3a)，
∴(a－1)2＋(3a－1)2＜4，∴－＜a＜1，故应选A.
答案：A
5．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得由于点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
6．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A．4 B．3
C．2 D.
解析：圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，由于四边形PACB的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为，即＝，解得k＝±2，又k＞0，所以k＝2.
答案：C
7．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．
解析：过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，
∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案：x＋y－1＝0
8．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为__________．
解析：由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即－＝.
答案：
9．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是__________．
解析：据题意圆x2＋(y－1)2＝1上全部的点都在直线x＋y＋m＝0的右上方，所以有解得m≥－1＋.故m的取值范围是[－1＋，＋∞)．
答案：[－1＋，＋∞)
10．已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)在(1)的条件下，若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且|MN|＝，求m的值．
解析：(1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，明显只要5－m＞0，即m＜5时方程C表示圆．
(2)由于圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，其中m＜5，所以圆心C(1,2)，半径r＝，
则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离为
d＝＝，
由于|MN|＝，所以|MN|＝.
所以5－m＝2＋2，
解得m＝4.
B级 力气提升练
11．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为( )
A.2＋y2＝ B．2＋y2＝
C．x2＋2＝ D．x2＋2＝
解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝.
答案：C
12．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A. B．
C. D.
解析：将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心在直线上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤.
答案：A
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
解析：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.
∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.
∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P的坐标为(x0，y0)，
则＝，即|x0－y0|＝1.
∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.
①当y0＝x0＋1时，由y－x＝1得
(x0＋1)2－x＝1.
∴∴r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3.
②当y0＝x0－1时，由y－x＝1得
(x0－1)2－x＝1.
∴∴r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.
综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3.
14．已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，点(－1,1)在边AD所在的直线上．
(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；
(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．
解析：(1)∵lAB：x－3y－6＝0且AD⊥AB，
∴kAD＝－3，点(－1,1)在边AD所在的直线上，
∴AD所在直线的方程是y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.
由得A(0，－2)．
∴|AP|＝＝2.
∴矩形ABCD的外接圆的方程是(x－2)2＋y2＝8.
(2)证明：直线l的方程可化为k(－2x＋y＋4)＋x＋y－5＝0，l可看作是过直线－2x＋y＋4＝0和x＋y－5＝0的交点(3,2)的直线系，即l恒过定点Q(3,2)，由|QP|2＝(3－2)2＋25＝5＜8知点Q在圆P内，所以l与圆P恒相交，
设l与圆P的交点为M，N，|MN|＝2(d为P到l的距离)，设PQ与l的夹角为θ，则d＝|PQ|·sinθ＝sinθ，当θ＝90°时，d最大，|MN|最短．此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数，即－，故l的方程为y－2＝－(x－3)，即l：x＋2y－7＝0.
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