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开卷速查(五十六) 圆锥曲线的综合问题
A级 基础巩固练
1．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于异于椭圆顶点的两点A，B，且＝2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求m的取值范围．
解析：(1)由题意，知椭圆的焦点在y轴上，
设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意，知a＝2，b＝c，
又a2＝b2＋c2，则b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，
即消去y，
得(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)＞0，
由根与系数的关系，知
又＝2，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，
所以－x1＝2x2.
则
所以＝－22.
整理，得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0时等式不成立，
所以k2＝＞0，得＜m2＜4，此时Δ＞0.
所以m的取值范围为∪.
2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，由四个点M(－a，b)、N(a，b)、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点F1的直线和椭圆交于两点A，B，求△F2AB面积的最大值．
解析：(1)由条件，得b＝，且×＝3，
所以a＋c＝3.又a2－c2＝3，解得a＝2，c＝1.
所以椭圆的方程＋＝1.
(2)明显，直线的斜率不能为0，设直线方程为x＝my－1，直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程消去x，
得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
由于直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交．
∴y1＋y2＝，y1y2＝－.
S△F2AB＝|F1F2||y1－y2|
＝|y1－y2|
＝
＝12
＝4
＝4，
令t＝m2＋1≥1，设y＝t＋，易知t∈时，函数单调递减，t∈函数单调递增，所以当t＝m2＋1＝1，即m＝0时，ymin＝.
S△F2AB取最大值3.
B级 力气提升练
3．[2022·江西]如图，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.
证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．
解析：(1)设F(c,0)，由于b＝1，所以c＝，
直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，解得B.
又直线OA的方程为y＝x，则A，kAB＝＝.
又由于AB⊥OB，所以·＝－1，
解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝.
由于直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点M；
直线l与直线x＝的交点为N，.
则＝
＝
＝·，
由于P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，代入上式得
＝·
＝·
＝，
所求定值为＝＝.
4．[2022·福建]已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.摸索究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
解析：方法一：(1)由于双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，
所以＝2，
故c＝a，
从而双曲线E的离心率e＝＝.
(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，
则|OC|＝a，|AB|＝4a，
又由于△OAB的面积为8，
所以|OC|·|AB|＝8，
因此a·4a＝8，解得a＝2，
此时双曲线E的方程为－＝1.
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：
－＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，
则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y1＝，
同理得y2＝.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|得，
·＝8，
即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
由于4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)
＝－16(4k2－m2－16)，
又由于m2＝4(k2－4)，
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
方法二：(1)同方法一．
(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
依题意得－<m<.
由得y1＝，同理得y2＝.
设直线l与x轴相交于点C，则C(t,0)．
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|＝8，得
|t|·＝8，
所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．
由得
(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.
由于4m2－1<0，直线l与双曲线E有且只有一公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，
即4m2a2＋t2－a2＝0，即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)(a2－4)＝0，
所以a2＝4，
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
方法三：(1)同方法一．
(2)当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
依题意得k>2或k<－2.
由得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0，
由于4－k2<0，Δ>0，
所以x1x2＝，
又由于△OAB的面积为8，
所以|OA|·|OB|·sin∠AOB＝8，
又易知sin∠AOB＝，
所以·＝8，
化简得x1x2＝4.
所以＝4，即m2＝4(k2－4)．
由(1)得双曲线E的方程为－＝1，
由得，(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0，
由于4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，
即(k2－4)(a2－4)＝0，
所以a2＝4，
所以双曲线E的方程为－＝1.
当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－＝1有且只有一公共点．
综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
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