2021高考数学(文)一轮知能检测：第8章-第4节-直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系

[全盘巩固]
1．若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是(　　)

A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
解析：选D　由于圆心在x轴上，且圆O位于y轴左侧，所以可设圆心坐标为(m,0)(m<0)．又圆O与直线x＋2y＝0相切，则圆心到直线x＋2y＝0的距离等于半径长，即＝，解得m＝－5，即圆O的圆心为(－5,0)，又半径为，故圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
2．(2022·黄山模拟)已知M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a＞0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离
解析：选C　因M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a>0)内异于圆心的一点，故x＋y＜a2，圆心到直线x0x＋y0y＝a2的距离d＝＞＝a，故直线与圆相离．
3．(2022·杭州模拟)设m∈R，则“m＝5”是“直线l：2x－y＋m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5恰好有一个公共点”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A　若直线与圆只有一个公共点，其充要条件为＝⇔m＝±5，故m＝5是直线与圆有一个公共点的充分不必要条件．
4．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)
A. B.
C．[－，] D.
解析：

选B　如图，若|MN|＝2，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d2＝22－()2＝1.
∵直线方程为y＝kx＋3，
∴d＝＝1，
解得k＝±.
若|MN|≥2，则－≤k≤.
5．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为　　(　　)
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
解析：选A　两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．由于过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x＋y－2＝0.
6．直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M，N，若c2＝a2＋b2，则·(O为坐标原点)等于(　　)
A．－7 B．－14 C．7 D．14
解析：选A　设，的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于＝1，cos θ＝，cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－，·＝3×3cos 2θ＝－7.
7．(2022·湖州模拟)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
解析：方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4相减得2ay＝2，则y＝.由已知条件 ＝，即a＝1.
答案：1
8．(2021·湖北高考)已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcos θ＋ysin θ＝1.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.
解析：圆O的圆心(0,0)到直线l：xcos θ＋ysin θ＝1的距离d＝1.而圆的半径r＝，且r－d＝－1>1，∴圆O上在直线l的两侧各有两点到直线l的距离等于1.
答案：4
9．(2022·天津高考)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．
解析：由于直线l与x，y轴均有交点，所以m≠0且n≠0，由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为，即＝，所以m2＋n2＝≥2|mn|，所以|mn|≤，又A，B，所以△AOB的面积为≥3，最小值为3.
答案：3
10．(2022·哈尔滨模拟)已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)．
(1)若点M、N到直线l的距离相等，求实数k的值；
(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．
解：(1)∵点M，N到直线l的距离相等，∴l∥MN或l过MN的中点．
∵M(0,2)，N(－2,0)，
∴kMN＝1，MN的中点坐标为C(－1,1)．
又∵直线l：kx－y－2k＋2＝0过点D(2,2)，∴当l∥MN时，k＝kMN＝1，当l过MN的中点时， k＝kCD＝，
综上可知，k的值为1或.
(2)∵对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心到直线l的距离大于半径，d＝>，解得，k<－或k>1.
故实数k的取值范围为∪(1，＋∞)．
11．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
解：(1)证明：∵圆C过原点O，
∴OC2＝t2＋.
设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴S△OAB＝OA·OB＝××|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)∵OM＝ON，CM＝CN，
∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝.
∴直线OC的方程是y＝x.
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在其次象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)设圆心为C(a，b)，由OC与直线y＝x垂直，知O，C两点的斜率kOC＝＝－1，故b＝－a，
则|OC|＝2，即＝2，
可解得或
结合点C(a，b)位于其次象限知
故圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)假设存在Q(m，n)符合题意，
则解得
故圆C上存在异于原点的点Q符合题意．
[冲击名校]
1．已知圆C：x2＋y2＝1，点P(x0，y0)在直线x－y－2＝0上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使得∠OPQ＝30°，则x0的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B．[0,1]
C．[－2,2] D．[0,2]
解析：选D　由题意知，在△OPQ中，
＝，即＝，
∴|OP|≤2，又P(x0，x0－2)，
∴x＋(x0－2)2≤4，解得x0∈[0,2]．
2．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O与⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________________．
解析：⊙O的圆心为(0,0)，半径为，⊙O′的圆心为(4,0)，半径为，设点P为(x，y)，由已知条件和圆切线性质得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，化简得x＝.
答案：x＝
[高频滚动]
1．设s，t为正整数，直线l1：x＋y－t＝0和l2：x－y＝0的交点是(x1，y1)，对于正整数n(n>1)，过点(0，t)和(xn－1,0)的直线l与直线l2的交点记为(xn，yn)，则数列{xn}的通项公式为xn＝(　　)
A. B. C. D.
解析：选A　由题意得直线l1和l2的交点是，所以
x1＝s.过点(0，t)和(xn－1,0)的直线l的方程为y＝－x＋t，与l2的方程联立得消去y可得＝＋，即＝＋，所以－＝，又＝，所以数列是首项为，公差为的等差数列，则＝＋(n－1)＝，故xn＝.
2.如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点动身射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD斜率的取值范围为________．

解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴kA1F＝4，又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2,1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．

答案：(4，＋∞)