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开卷速查(六十六) 几何概型
A级 基础巩固练
1．在区间上随机取一个数x，使得0＜tanx＜1成立的概率是( )
A. B. C. D.
解析：由0＜tanx＜1，得0＜x＜，故所求概率为＝.
答案：C
2．已知函数f(x)＝kx＋1，其中实数k随机选自区间[－2,1]．∀x∈[0,1]，f(x)≥0的概率是( )
A. B． C. D.
解析：由∀x∈[0,1]，f(x)≥0得有－1≤k≤1，所以所求概率为＝.
答案：C
3．设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A. B． C. D.
解析：坐标系中到原点距离不大于2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上，表示的区域D为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为＝.
答案：D
4．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为( )
A. B． C. D.
解析：要使该函数无零点，只需a2－4b2＜0，
即(a＋2b)(a－2b)＜0.
∵a，b∈[0,1]，a＋2b＞0，
∴a－2b＜0.
作出的可行域，易得该函数无零点的概率P＝＝.
答案：C
5．在区间[0，π]上随机取一个数x，则大事“sinx＋cosx≤1”发生的概率为( )
A. B. C. D.
解析：由sinx＋cosx≤1得2sin≤1，
即sin≤.
由于x∈[0，π]，故x＋∈，
因此当sin≤时，x＋∈，于是x∈.
由几何概型公式知大事“sinx＋cosx≤1”发生的概率为P＝＝.
答案：C
6．如图，△ABC和△DEF都是圆内接正三角形，且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示大事“豆子落在△ABC内”，B表示大事“豆子落在△DEF内”，则P(B|A)＝( )
A. B． C. D.
解析：设△AGH的面积为S，则S正六边形GHIJKM＝6S，S正△DEF＝9S，所以P(B|A)＝＝＝，故选D.
答案：D
7．若不等式组表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为__________．
解析：∵y＝x与y＝－x相互垂直，∴M的面积为3，而N的面积为，所以概率为＝.
答案：
8．在[－6,9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图像与x轴有公共点的概率等于__________．
解析：函数f(x)的图像与x轴有公共点应满足Δ＝m2＋4m≥0，解得m≤－4或m≥0，又m∈[－6,9]，故－6≤m≤－4或0≤m≤9，因此所求概率P＝＝.
答案：
9．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面开放图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面开放图内的概率是，则此长方体的体积是__________．
图1
图2
解析：设题图1长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面开放图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，
故长方体的体积为1×1×3＝3.
答案：3
10．已知集合A＝[－2,2]，B＝[－1,1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．
(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；
(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率．
解析：(1)集合M内的点形成的区域面积S＝8.因x2＋y2＝1的面积S1＝π，故所求概率为P1＝＝.
(2)由题意≤即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S2＝4，所求概率为P＝＝.
B级 力气提升练
11．设不等式组表示的平面区域为D，在D内任取一点P(x，y)，若满足2x＋y≤b的概率大于，则实数b的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,2)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：区域D表示以点O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)为顶点的正方形，其面积S1＝1.依据题意，b＞0，设正方形OABC位于直线2x＋y＝b下方部分面积为S2，由于直线2x＋y＝b在x轴，y轴上的截距分别为，b，则当0＜b≤1时，S2＝·＝≤.故题设，P＝＝S2＞，则b＞1，故选C.
答案：C
12．设集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤2}，B＝{(x，y)∈A|y≤x2}，从集合A中随机地取出一个元素P(x，y)，则P∈B的概率是__________．
解析：在直角坐标系中分别作出集合A，B所表示的区域，从集合A中随机地取出一个元素P(x，y)，则P∈B的区域为图中阴影部分，由定积分学问可求得阴影部分的面积为2＝，则从集合A中随机地取出一个元素P(x，y)，则P∈B的概率为＝.
答案：
13．投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率；
(2)若以落在区域C上的全部点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．
解析：(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，故所求概率为P＝.
(2)∵区域M的面积为4，而区域C的面积为10π，
∴所求概率为P＝＝.
14．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停靠两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．
(1)假如甲船和乙船的停靠时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；
(2)假如甲船的停靠时间为4小时，乙船的停靠时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．
解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，
则0≤x＜24,0≤y＜24且y－x≥4或y－x≤－4.
作出区域设“两船无需等待码头空出”为大事A，
则P(A)＝＝.
(2)当甲船的停靠时间为4小时，乙船的停靠时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y≥2或y－x≥4.
设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为大事B，画出区域
P(B)＝＝＝.
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