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开卷速查(三十九) 数学归纳法
A级 基础巩固练
1．在数列{bn}中，b1＝2，bn＋1＝(n∈N*)．求b2，b3，试判定bn与的大小，并加以证明．
解析：由b1＝2，bn＋1＝，得
b2＝＝，b3＝.
经比较有b1＞，b2＞，b3＞.
猜想bn＞(n∈N*)
下面利用数学归纳法证明．
(1)当n＝1时，因b1＝2，所以＜b1.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即＜bk.
∴bk－＞0.
当n＝k＋1时，bk＋1－＝－
＝＝＞0.
∴bk＋1＞，也就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．
依据(1)、(2)，知bn＞(n∈N*)．
2．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．
(1)求过点P1，P2的直线l的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．
解析：(1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.
∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝.
∴点P2的坐标为，
∴直线l的方程为2x＋y＝1.
(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立，
则当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1
＝(2ak＋1)＝＝＝1，
∴当n＝k＋1时，命题也成立．
由①、②知，对于n∈N*，都有2an＋bn＝1，
即点Pn在直线l上．
3．已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，当n∈N*时，an＋2＝an＋1＋an.求证：数列{an}的第4m＋1项(m∈N*)能被3整除．
证明：(1)当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.
即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．
故命题成立．
(2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，
则当m＝k＋1时，
a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3
＝2a4k＋3＋a4k＋2
＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2
＝3a4k＋2＋2a4k＋1.
明显，3a4k＋2能被3整除，又由假设知a4k＋1能被3整除．
所以3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．
即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除．
命题也成立．
由(1)和(2)知，对于任意n∈N*，数列{an}中的第4m＋1项能被3整除．
B级 力气提升练
4．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．
解析：(1)当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，
解得a1＝.
当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，
∴2－a2－a2＝0，解得a2＝.
(2)由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得
SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.
由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.
猜想Sn＝(n∈N*)．
下面用数学归纳法证明这个结论．
①当n＝1时，结论成立．
②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即Sk＝，
当n＝k＋1，Sk＋1＝＝＝＝.即当n＝k＋1时结论成立．
由①、②知Sn＝对任意的正整数n都成立．
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