资源描述
§1.3 中国古代数学中的算法案例
课时目标 通过三种算法案例：更相减损之术、秦九韶算法、割圆术，进一步体会算法的思想，提高规律思维力气和算法设计水平．
1．求两个正整数最大公约数的算法
更相减损之术(等值算法)
用两个数中较大的数减去较小的数，再用______和__________构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作始终做下去，直到产生____________，这个数就是最大公约数．
2．割圆术
割圆术就是用________________________________的算法来计算圆周率π的一种方法．
3．秦九韶算法
把n次多项式P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写为
P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0
令vk＝__________________，则递推公式为，
其中k＝1,2，…，n.
一、选择题
1．自然数8 251和6 105的最大公约数为( )
A．37 B．23
C．47 D．111
2．五次多项式f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f(－2)等于( )
A．－ B. C. D．－
3．下列哪组的最大公约数与1 855,1 120的公约数不同( )
A．1 120,735 B．385,350
C．385,735 D．1 855,325
4．用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
5．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为( )
A．10 B．9
C．12 D．8
6．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为( )
A．27 B．11
C．109 D．36
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．用更相减损之术求36和134的最大公约数，第一步应为______________．
8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为________．
9．我国古代数学进展始终处于世界领先水平，特殊是割圆术、更相减损之术、秦九韶算法等，其功能与欧几里得算法相同的是______________．
三、解答题
10．求210与98的最大公约数．
11．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．
力气提升
12．求三个数168,54,264的最大公约数．
13．用秦九韶算法求f(x)＝5x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8中x＝5时f(x)的值．
秦九韶算法的特点
秦九韶算法的特点在于把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，即把求f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值转化为求递推公式：
这样可以最多计算n次乘法和n次加法即可得多项式的值，和直接代入多项式相比削减了乘法的运算次数，提高了运算效率．
答案
学问梳理
1．差 较小的数 一对相等的数 2.正多边形面积渐渐靠近圆面积 3.(…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k v0＝an vk＝vk－1x＋an－k
作业设计
1．A [利用更相减损之术可得它们的最大公约数为37.]
2．A [∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，
∴f(－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－＝－.]
3.D ∵（1 855,1 120）→(735,1 120)→(735,385)→(350,385)→(350,35),（315，35）→…→(35,35)
∴1 855与1 120的公约数是35,
由以上计算过程可知选D.］
4.C∵（294，84）→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42),
∴需做4次减法.］
5．C [∵f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，
∴加法6次，乘法6次，
∴6＋6＝12(次)，故选C.]
6．D [将函数式化成如下形式，
f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1.
由内向外依次计算：
v0＝1，
v1＝1×3＋0＝3，
v2＝3×3＋2＝11，
v3＝11×3＋3＝36，
v4＝36×3＋1＝109，
v5＝109×3＋1＝328.]
7．134－36＝98
解析 第一步为较大的数减去较小的数．
8．220
解析 v4＝(((a6x＋a5)x＋a4)x＋a3)x＋a2，把a6＝3，a5＝5，a4＝6，a3＝79，a2＝－8，x＝－4代入可得v4＝220.
9．更相减损之术
10．解 ∵(210,98)
→(112,98)→(14,98)
→(84,14)→(70,14)
→(56,14)→(42,14)
→(28,14)→(14,14)，
∴210与98的最大公约数为14.
11．解 将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.
由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值
v0＝1，
v1＝1×2－12＝－10，
v2＝－10×2＋60＝40，
v3＝40×2－160＝－80，
v4＝－80×2＋240＝80，
v5＝80×2－192＝－32，
v6＝－32×2＋64＝0.
∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
12．解 ∵（168,54）→(114,54)→(114,54)→(60,54)→(6,54)→(6,48)→(6,42)→(6,36)
→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6)，
∴168和54的最大公约数为6.
∵(54，264) →(210,54)→(210,54)→(156,54)→(102,54)→(54,48)→(48,6)→(42,6)
→…→(6,6)，
∴54和264的最大公约数为6.
故168,54,264的最大公约数为6.
13．解 依据秦九韶算法，把多项式改写为如下形式：
f(x)＝((((5x＋2)x＋3.5)x＋(－2.6))x＋1.7)x－0.8，按从内向外的挨次依次计算一次多项式x＝5时的值．
v0＝5，
v1＝5×5＋2＝27，
v2＝27×5＋3.5＝138.5，
v3＝138.5×5－2.6＝689.9，
v4＝689.9×5＋1.7＝3 451.2，
v5＝3 451.2×5－0.8＝17 255.2.
所以当x＝5时，f(x)的值为17 255.2.
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