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专题三 三角函数、三角恒等变换与解三角形
第1讲 三角函数与三角恒等变换
1．(仿2021·安徽，12)已知函数y＝sin，则下列四个结论其中正确的是________．
①关于点中心对称，
②关于直线x＝轴对称，
③向左平移后得到奇函数，
④向左平移后得到偶函数，
解析 对于A：y＝sin＝－sin，其对称中心的纵坐标应为0，故排解①；对于②：当x＝时，y＝0，既不是最大值1，也不是最小值－1，故可排解②；对于③：y＝sin＝－sin，向左平移后得到：y＝－sin＝－sin 2x为奇函数，正确；可排解④.
答案 ③
2．(仿2022·湖南，6)定义行列式运算＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝的图象向左平移个单位，所得函数图象的对称中心是________．
解析 依据行列式的定义可知f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，向左平移个单位得到g(x)＝2sin＝2sin 2x，所以g＝2sin＝
2sin kπ＝0，所以是函数的对称中心(k∈Z)．
答案 k∈Z
3．(仿2021·山东，8)下列四个函数中，大致是函数y＝－2sin x的图象的是________．
解析 当x＝0时，y＝0－2sin 0＝0，故函数图象过原点，可排解①.
又∵y′＝－2cos x，
当x在y轴右侧趋向0时，f′(x)＜0，此时函数为减函数；当x＝2 π时，
f′(2 π)＝－2 cos 2 π＝－＜0，所以x＝2 π应在函数的减区间上．
答案 ③
4．(仿2022·重庆，5)已知锐角A，B满足2tan A＝tan(A＋B)，则tan B的最大值为________．
解析 tan B＝tan[(A＋B)－A]＝＝＝，
又tan A＞0，则＋2tan A≥2，
则tan B≤＝.
[注]直接按和角公式开放也可．
答案
5．(仿2021·四川，5)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，－＜φ＜)，其部分图象如图所示，将f(x)的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向左平移1个单位得到g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为________．
解析 由图象得，A＝1，＝1－(－1)＝2，T＝8，由于T＝＝8，∴ω＝，由图象可以看出，f(1)＝1，所以⇒φ＝，即f(x)＝
sin(x＋1)，将f(x)的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍得到f1(x)＝sin，再向右平移1个单位得到f2(x)＝sin＝sin(x＋1)．
答案 g(x)＝sin(x＋1)
6．(仿2011·辽宁，7)已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．
解析 ∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，
∴2cos θsin θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－.
答案 －
7．(仿2021·江西，11)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________．
解析 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.
∵y＝f(x)的图象与y＝2的两个相邻交点的距离为π，
∴y＝f(x)的周期为π，∴＝π.∴ω＝2.
∴f(x)＝2sin，由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
答案 (k∈Z)
8．(仿2011·浙江，6)已知＜β＜α＜π，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.
解析 ∵α，β∈，
∴α＋β∈，β－∈.
又sin(α＋β)＝－，sin＝，
∴cos(α＋β)＝＝，
cos＝－＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝－.
答案 －
9．(仿2021·天津，15)已知函数f(x)＝coscos－sin xcos x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求函数f(x)单调递增区间．
解 (1)∵f(x)＝coscos－sin 2x＋
＝－sin 2x＋
＝cos2x－sin2x－sin 2x＋
＝－－sin 2x＋
＝(cos 2x－sin 2x)＝cos，
函数f(x)的最小正周期为T＝π，
函数f(x)的最大值为.
(2)由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，
得kπ－π≤x≤kπ－，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
10．(仿2021·广东，16)已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α,5sin α－4cos α)，α∈，且a⊥b.
(1)求tan α的值；
(2)求cos的值．
解 (1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，
故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，
即＝0.
由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0.
解得tan α＝－或tan α＝.
∵α∈，∴tan α＜0，
∴tan α＝－.
(2)∵α∈，∴∈.
由tan α＝－，求得tan＝－或tan＝2(舍去)．
∴sin＝，cos＝－，
∴cos＝coscos－sin·sin＝－×－×＝－.
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