资源描述
模块综合检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝x·3n－1－，则x等于( )
A. B．－ C. D．－
2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1等于( )
A. B.
C. D．2
3．在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C，则角B的大小为( )
A．150° B．30° C．120° D．60°
4．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式≤0的解集是( )
A．(－∞，－1]∪(2，＋∞)
B．[－1,2)
C．[1,2)
D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
5．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＋b2<c2，则△ABC的外形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形
6．若x，y∈R，且则z＝x＋2y的最小值等于( )
A．2 B．3 C．5 D．9
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S21＝42，记A＝，则A的值为( )
A．2 B．1 C．16 D．32
8．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4 C．1 D.
9．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于( )
A．3 B.
C. D.
10．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝(log0.5a5＋log0.5a7)，Q＝log0.5，P与Q的大小关系是( )
A．P≥Q B．P<Q
C．P≤Q D．P>Q
11．在△ABC中，A、B、C分别为a、b、c边所对的角．若a、b、c成等差数列，则B的取值范围是( )
A．0<B≤ B．0<B≤
C．0<B≤ D.<B<π
12．设实数x，y满足则u＝的取值范围是( )
A. B.
C. D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为________．
14．不等式2x－＋1≤的解为______________．
15．已知f(x)＝32x－k·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为________．
16．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)记等差数列的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.
18．(12分)在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，若2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，求b.
19．(12分)已知a、b、c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥.
20．(12分)C位于A城的南偏西20°的位置，B位于A城的南偏东40°的位置，有一人距C为31千米的B处正沿大路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A城？
21．(12分)在数列{an}中，a1＝1,2an＋1＝2·an (n∈N＋)．
(1)证明数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝an＋1－an，求数列{bn}的前n项和Sn.
22．(12分)某养分师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的养分至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.假如一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的养分要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
模块综合检测(B)
1．C [Sn＝x·3n－1－＝·3n－，∴＝即x＝.]
2．B [a3·a9＝a＝，∴(a5q)2＝.∴q2＝2.又q>0，∴q＝.∴a1＝＝.]
3．A [sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin Ca2＋c2－b2＝－accos B＝＝＝－B＝150°.]
4．B [∵ax－b>0的解集是(1，＋∞)，∴a＝b>0.
得≤0≤0≤0－1≤x<2.]
5．C
6．B [不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
当直线x＋2y＝z过点(1,1)时，目标函数z＝x＋2y取得最小值3.]
7．B [由S21＝＝21a11＝42，∴a11＝2.
∴－(a9＋a13)＝a－2a11＝0.
∴A＝2a－a9－a13＝20＝1.]
8．B [由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.
由于a>0，b>0，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．]
9．B [∵S△ABC＝bcsin A＝c＝，∴c＝4.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，解得a＝.
由＝＝，得＝＝＝.]
10．D [P＝log0.5＝log0.5，Q＝log0.5，由> (q≠1，a3≠a9)，
又y＝log0.5x在(0，＋∞)上递减，∴log0.5<log0.5，即Q<P.]
11．B [∵2b＝a＋c，∴b＝(a＋c)，cos B＝＝＝＝≥＝，∴0<B≤.]
12．C
[可行域如图， kOA＝，kOB＝2，u＝＋，而＝t∈，函数u＝t＋在t∈上为减函数，且在[1,2]上为增函数，∴t＝1时，umin＝2，t＝时，umax＝.]
13. 5
解析 作出可行域，
如图所示．
由图可知，目标函数z＝3x－y在点A(2,1)处取得最大值，zmax＝3×2－1＝5.
14．(－∞，－3]∪(0,1]
解析 ∵≤＝2－1，∴x－＋1≤－1.∴≤0，即≤0.
由上图知不等式的解为(－∞，－3]∪(0,1]．
15．(－∞，2)
解析 由f(x)>0得32x－k·3x＋2>0，解得k<3x＋，而3x＋≥2，∴k<2.
16.
解析 由an＋1－an＝2n，得an－an－1＝2(n－1)，an－1－an－2＝2(n－2)，…，a2－a1＝2.
将这n－1个式子累加得an－a1＝＝n2－n.
∵a1＝33，∴an＝n2－n＋33，∴＝＝n＋－1.当n＝6时，有最小值.
17．解 设数列的公差为d，依题设有
即
解得或
因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)．
18．解 ∵S△ABC＝acsin B＝acsin 30°＝，∴ac＝6.∵2b＝a＋c.
由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos 30°，
∴b2＝4b2－12－6，
得b2＝4＋2，∴b＝1＋.
19．证明 ∵a2＋b2≥2ab，①
b2＋c2≥2bc，②
c2＋a2≥2ac，③
a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋c2，④
由①＋②＋③＋④得：
3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，
即a2＋b2＋c2≥.
20．解
设∠ACD＝α，∠CDB＝β.
在△BCD中，由余弦定理得
cos β＝＝＝－，
则sin β＝，
而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60°＝×＋×＝，
在△ACD中，由正弦定理得＝，
∴AD＝＝＝15(千米)．
答 这人还要走15千米才能到达A城．
21．(1)证明 由条件得＝·，又n＝1时，＝1，
故数列构成首项为1，公比为的等比数列．从而＝，即an＝.
(2)解 由bn＝－＝，
得Sn＝＋＋…＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减得Sn＝＋2－，
所以Sn＝5－.
22．解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意，
得z＝2.5x＋4y，且x，y满足
即
作出可行域如图，让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
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