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德化一中2021年春季高二数学（理科）周练3
班级______ 座号______ 姓名_________ 成果_________
一、选择题（本大题共12小题）
1、下面说法：
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论确定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不行以省略．
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝(　　)
A． B． C．1 D．2
4.若函数的最小值为0，则= ( )
A．2 B． C． D．
5.已知是等比数列，，则（ ）
A.16（） B.6（） C.（） D.（）
6.将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
A. B. C. D.
7.已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列，则有（ ）
A． B． C． D．
8.当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，
则f（2009）的值为 ( )
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
10.命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的缘由是(　　)
A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误
11.函数的定义域是，若对于任意的正数，函数都是其定义域上的增函数，则函数的图象可能是 ( )

12.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道.给出下列函数：①，②，③，其中在区间上通道宽度可以为1的函数有：( )
①② ①③ ① ③

二、填空题（本大题共4小题）

13、若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝__________　

14． 已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a，b，则其面积S＝ab.若三棱锥P－ABC的三 条侧棱两两相互垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，类比上述结论可得此三棱锥的体积
VP－ABC等于__________　　
15. 设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝ ．
16．定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)，当x∈[0，2)时，
f(x)＝若x∈[－4，－2)时，f(x)≥－恒成立，
则实数t的取值范围是________．

三、解答题（本大题共6小题）

17.(1)计算：i2 009＋(＋i)8－50＋； ‚＋(2＋i)·(1－i)．
(2)已知z＝1＋i，a，b为实数．
若ω＝z2＋3－4，求|ω|； ‚若＝1－i，求a，b的值．
18.已知数列的前n项和为且，数列满足且．
（１）求的通项公式；
（２）求证：数列为等比数列;
（３）求前n项和的最小值．

19．已知函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，争辩函数零点的个数．

20．已知数列，设 ，数列。
（1）求证：是等差数列；
（2）求数列的前n项和Sn；
（3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。

21．已知函数在= ±1处取得极值.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值，都有；
（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

22．已知函数.
（Ⅰ）若为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值；
（Ⅲ）当，且1≥＞≥0时，证明：.
德化一中2021年春季高二数学（理科）周练3答案
CCACCB BBCCAB 13、3； 14、abc； 15、 ； 16、
17.解析：　(1)i2 009＝i4×502＋1＝i，(＋i)8＝[2(1＋i)2]4＝(4i)4＝44＝256，50＝25＝25＝(－i)25＝－i，＝＝i，
所以原式＝i＋256＋i＋i＝256＋3i.
‚原式＝＋3－i2－i＝i(－1－2i)＋4－i＝－i＋2＋4－i＝6－2i.
(2)解析：ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，所以|ω|＝.
‚由条件，得＝1－i，所以(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，
所以解得
18.解： (1)由得, ……2分
∴ ……………………………………4分
(2)∵,∴,
∴;

∴由上面两式得,又
∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列.…………………8分
(3)由(2)得，∴

= ，∴是递增数列 ………11分
当n=1时, <0；当n=2时, <0；当n=3时, <0；当n=4时, >0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.
且…………………………13分
19．解：
（1） 当时，，令=0得，
时，或，时，
∴的单调递减区间为和，单调递增区间为
， ……6分
（2）①若，则 ∴只有一个零点．……8分
②若，两根为，则
∴当或x＞1时，＜0， 当时，＞0
∴的极大值为 , 的微小值为
∴有三个零点．……11分
③若，则
∴当或时，＞0， 当时，＜0
∴的极大值为
∴有一个零点……13分

20.解：（1）由题意知，……………………1分

∴数列的等差数列……………………4分
（2）由（1）知，,……5分

于是
两式相减得
……………………8分
（3）
∴当n=1时，,当
∴当n=1时，取最大值是
又
，即……………………12分
21.解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，
 即   解得a=1，b=0.  ∴f(x)=x3－3x………2分
（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
当－1<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，
fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2……………………………………4分
∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|
|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4…………………………6分
（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.
设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足
因，故切线的斜率为，
整理得.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
∴关于x0方程=0有三个实根.……………………8分
设g(x0)= ，则g′(x0)=6，
由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.
∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1………10分
∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得－3<m<－2.
故所求的实数a的取值范围是 
22. 解：，∴
对，，故不存在实数m，使对恒成立
由对恒成立得，≥对恒成立，而＜0，故m≥0.经检验，当m≥0时，对恒成立
∴当m≥0时，f （x）为定义域上的单调递增函数．---------5分
（2）解：当m =－1时，由得x = 0
当时，，当时，
∴在x = 0时取得最大值，最大值为0．--------- 8分
（3） 证明：当m = 1时，令，由（2）知它在[0，1]上递减，
∴,即 ----13分
综上所述，当m = 1，且1≥a > b≥0时， -----14分