【2021导与练-高校信息化课堂】高三理科数学二轮复习—专项训练高考中档题训练(五).docx

高考中档题训练(五)
1.(2022嘉兴一模)已知函数f(x)=2sin(x+)cos x.
(1)若x∈[0,],求f(x)的取值范围;
(2)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A为锐角,f(A)=,b=2,c=3,求cos (A-B)的值.
解:(1)f(x)=(sin x+cos x)cos x
=sin xcos x+cos2x
=sin 2x+cos 2x+
=sin(2x+)+,
∵x∈[0,],
∴2x+∈[,],-≤sin(2x+)≤1.
∴f(x)∈[0,1+].
(2)由f(A)=sin(2A+)+=,
得sin(2A+)=0,
又A为锐角,
所以A=,
又b=2,c=3,
所以a2=4+9-2×2×3×cos =7,a=.
由=,
得sin B=,
又b<a,从而B<A,
cos B=.
所以,cos (A-B)=cos Acos B+sin Asin B
=×+×
=.
2.如图,长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数为;②其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,

(1)写出y的表达式;
(2)设0<v≤10,0<c≤5,试依据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少.
解:(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为
|v-c|+,
故y=(|v-c|+)=(3|v-c|+10).
(2)由(1)知,
当0<v≤c时,y=(3c-3v+10)=-15;
当c<v≤10时,y=(3v-3c+10)=+15.
故y=
①当0<c≤时,y是关于v的减函数,
故当v=10时,ymin=20-.
②当<c≤5时,在(0,c]上,y是关于v的减函数,
在(c,10]上,y是关于v的增函数.
故当v=c时,ymin=.
3.(2022杭州外国语学校)在如图所示的几何体中,△ABC是边长为2的正三角形,AE>1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC, BD=CD,且BD⊥CD.

(1)若AE=2,求证:AC∥平面BDE;
(2)若二面角ADEB为60°,求AE的长.
(1)证明:分别取BC,BA,BE的中点M,F,P,连接DM,MF,FP,DP,

则MF∥AC,FP∥AE,
且FP=AE=1,
由于BD=CD,BD⊥CD,BC=2,M为BC的中点,
所以DM⊥BC,DM=1.
又由于平面BCD⊥平面ABC,
所以DM⊥平面ABC.
又AE⊥平面ABC,
所以DM∥AE,
所以DM∥FP,且DM=FP,
因此四边形DMFP为平行四边形,
所以MF∥DP,所以AC∥DP.
又AC⊄平面BDE,DP⊂平面BDE,
所以AC∥平面BDE.
(2)解:法一　取BC中点M,过M作MN⊥ED,交ED的延长线于N,连接BN,AM,DM,

由于BC⊥AM,BC⊥DM,
所以BC⊥平面DMAE,
由于ED⊂平面DMAE,
所以BC⊥ED.
所以ED⊥平面BMN,
又BN⊂平面BMN,
所以ED⊥BN.
所以∠MNB为二面角AEDB的平面角,
即∠MNB=60°,
在Rt△BMN中,BM=1,
则MN=,BN=.
在Rt△MND中,DN=.
设AE=h+1,
则DE=,
所以NE=+,
又BE=,
在Rt△BNE 中,BE2=BN2+NE2,
即(h+1)2+22=()2+(+)2,
解得h=,
所以AE=+1.
法二　由(1)知DM⊥平面ABC,
AM⊥MB,
建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz.

设AE=h,则M(0,0,0),B(1,0,0),D(0,0,1),A(0,,0),E(0,,h),
=(-1,0,1),=(-1,,h),
设平面BDE的法向量n1=(x,y,z),
则
所以
令x=1,所以n1=(1,,1).
又平面ADE的法向量n2=(1,0,0),
所以cos<n1,n2>=
=
=.
解得h=+1,
即AE=+1.