【2021导与练-高校信息化课堂】高三理科数学二轮复习—专项训练高考压轴题训练(三).docx

高考压轴题训练(三)
1.已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2).
(1)求f(-1),f(2.5)的值;
(2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并争辩函数f(x)在[-3,3]上的单调性;
(3)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的值.
解:(1)f(-1)=kf(1)=-k,
∵f(0.5)=kf(2.5),
∴f(2.5)=f(0.5)=(0.5-2)×0.5=-.
(2)∵对任意实数x,
f(x)=kf(x+2),
∴f(x-2)=kf(x),
∴f(x)=f(x-2).
当-2≤x<0时,0≤x+2<2,
f(x)=kf(x+2)=kx(x+2);
当-3≤x<-2时,-1≤x+2<0,
f(x)=kf(x+2)=k2(x+2)(x+4);
当2<x≤3时,0<x-2≤1,
f(x)=f(x-2)=(x-2)(x-4).
故f(x)=
∵k<0,
∴f(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,在[-1,1]上为减函数.
(3)由函数f(x)在[-3,3]上的单调性可知,
f(x)在x=-3或x=1处取得最小值f(-3)=-k2或f(1)=-1,
而在x=-1或x=3处取得最大值f(-1)=-k或
f(3)=-.
故有①k<-1时,f(x)在x=-3处取得最小值f(-3)=-k2,在x=-1处取得最大值f(-1)=-k.
②k=-1时,f(x)在x=-3与x=1处取得最小值f(-3)=f(1)=-1,在x=-1与x=3处取得最大值f(-1)=f(3)=1.
③-1<k<0时,f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-1,在x=3处取得最大值f(3)=-.
2. (2022嘉兴二模)如图,设椭圆+=1(a>b>0)长轴的右端点为A,短轴端点分别为B、C,另有抛物线y=x2+b.

(1)若抛物线上存在点D,使四边形ABCD为菱形,求椭圆的方程;
(2)若a=2,过点B作抛物线的切线,切点为P,直线PB与椭圆相交于另一点Q,求的取值范围.
解:(1)由四边形ABCD是菱形,
得D(a,a2+b),
且
解得a=,b=,
所以椭圆方程为3x2+9y2=1.
(2)不妨设P(t,t2+b)(t≠0),
由题图知切线PQ的斜率存在,
设直线PQ的方程为y=k(x-t)+t2+b,
由
知x2-kx+kt-t2=0,
于是Δ=k2-4(kt-t2)=0,
即k2-4kt+4t2=0,
解得k=2t.
所以PQ的方程为y=2tx-t2+b.
又由于直线PQ过点B,
所以-t2+b=-b,
即b=.
所以PQ的方程为y=2tx-.
联立方程组
消去y,得(t2+64)x2-32tx=0.
所以点Q的横坐标为xQ=,
所以==+1.
又t2=2b∈(0,4),
所以的取值范围为(1,).