【2021导与练-高校信息化课堂】高三理科数学二轮复习—专项训练高考压轴题训练(五).docx

高考压轴题训练(五)1.在平面直角坐标系xOy上取两个定点A1(-2,0),A2(2,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=3.(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程;(2)已知点A(1,t)(t0)是轨迹M上的定点,E,F是轨迹M上的两个动点,假如直线AE的斜率kAE与直线AF的斜率kAF满足kAE+kAF=0,摸索究直线EF的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.解:(1)依题意知直线A1N1的方程为y=(x+2), 直线A2N2的方程为y=-(x-2), 设Q(x,y)是直线A1N1与A2N2的交点,得y2=-(x2-4).由mn=3,整理得+=1.N1,N2不与原点重合,点A1(-2,0),A2(2,0)不在轨迹M上,轨迹M的方程为+=1(x2).(2)直线EF的斜率是定值,理由:点A(1,t)(t0)在轨迹M上,+=1,解得t=.即点A的坐标为(1,).设kAE=k,则直线AE的方程为y=k(x-1)+,代入+=1并整理得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(-k)2-12=0.设E(xE,yE),F(xF,yF),点A(1,)在轨迹M上,xE=, yE=kxE+-k. 又kAE+kAF=0得kAF=-k,将、式中的k代换成-k,可得xF=,yF=-kxF+k,直线EF的斜率kEF=.xE+xF=,xF-xE=,kEF=,即直线EF的斜率为定值,其值为.2.(2021高考安徽卷改编)已知函数fn(x)=-1+x+(xR,nN*),在(0,+)上单调递增.证明:(1)对每个nN*,存在唯一的xn,1,满足fn(xn)=0;(2)对任意pN*,由(1)中xn构成的数列xn满足0xn-xn+p0,故fn(1)0.又fn()=-1+-+()k=-+=-()n-10时,fn+1(x)=fn(x)+fn(x),故fn+1(xn)fn(xn)=fn+1(xn+1)=0.由fn+1(x)在(0,+)内单调递增,知xn+1xn.故xn为单调递减数列,从而对任意n,pN*,xn+pxn.对任意pN*,由于fn(xn)=-1+xn+=0, fn+p(xn+p)=-1+xn+p+=0, 式减去式并移项,利用0xn+pxn1,得xn-xn+p=+=-.因此,对任意pN*,都有0xn-xn+p.