【2021导与练-高校信息化课堂】高三理科数学二轮复习—专项训练高考压轴题训练(五).docx

高考压轴题训练(五)
1.在平面直角坐标系xOy上取两个定点A1(-2,0),A2(2,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=3.
(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程;
(2)已知点A(1,t)(t>0)是轨迹M上的定点,E,F是轨迹M上的两个动点,假如直线AE的斜率kAE与直线AF的斜率kAF满足kAE+kAF=0,摸索究直线EF的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.
解:(1)依题意知直线A1N1的方程为y=(x+2), ①
直线A2N2的方程为y=-(x-2), ②
设Q(x,y)是直线A1N1与A2N2的交点,
①×②得y2=-(x2-4).
由mn=3,整理得+=1.
∵N1,N2不与原点重合,
∴点A1(-2,0),A2(2,0)不在轨迹M上,
∴轨迹M的方程为+=1(x≠±2).
(2)直线EF的斜率是定值,理由:
∵点A(1,t)(t>0)在轨迹M上,
∴+=1,
解得t=.
即点A的坐标为(1,).
设kAE=k,
则直线AE的方程为y=k(x-1)+,
代入+=1并整理得
(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(-k)2-12=0.
设E(xE,yE),F(xF,yF),
∵点A(1,)在轨迹M上,
∴xE=, ③
yE=kxE+-k. ④
又kAE+kAF=0得kAF=-k,将③、④式中的k代换成-k,可得
xF=,yF=-kxF++k,
∴直线EF的斜率
kEF==.
∵xE+xF=,
xF-xE=,
∴kEF=
=
=,
即直线EF的斜率为定值,其值为.
2.(2021高考安徽卷改编)已知函数fn(x)=-1+x+++…+(x∈R,n∈N*),在(0,+∞)上单调递增.
证明:(1)对每个n∈N*,存在唯一的xn∈[,1],满足fn(xn)=0;
(2)对任意p∈N*,由(1)中xn构成的数列{xn}满足0<xn-xn+p<.
证明:(1)由于f1(1)=0,
当n≥2时,fn(1)=++…+>0,
故fn(1)≥0.
又fn()=-1++
≤-+()k
=-+·
=-·()n-1<0,
且函数f(x)在(0,+∞)内单调递增.
所以存在唯一的xn∈[,1],满足fn(xn)=0.
(2)当x>0时,fn+1(x)=fn(x)+>fn(x),
故fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0.
由fn+1(x)在(0,+∞)内单调递增,知xn+1<xn.
故{xn}为单调递减数列,
从而对任意n,p∈N*,xn+p<xn.
对任意p∈N*,
由于fn(xn)=-1+xn++…+=0, ①
fn+p(xn+p)=-1+xn+p++…+++…+=0, ②
①式减去②式并移项,利用0<xn+p<xn≤1,
得xn-xn+p=+
≤≤<
=-<.
因此,对任意p∈N*,都有0<xn-xn+p<.