1、高考压轴题训练(三)1.已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间0,2上有表达式f(x)=x(x-2).(1)求f(-1),f(2.5)的值;(2)写出f(x)在-3,3上的表达式,并争辩函数f(x)在-3,3上的单调性;(3)求出f(x)在-3,3上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的值.解:(1)f(-1)=kf(1)=-k,f(0.5)=kf(2.5),f(2.5)=f(0.5)=(0.5-2)0.5=-.(2)对任意实数x,f(x)=kf(x+2),f(x-2)=kf(x),f(x)=f(x-2).当-2x0时,0x+22,f(x)
2、=kf(x+2)=kx(x+2);当-3x-2时,-1x+20,f(x)=kf(x+2)=k2(x+2)(x+4);当2x3时,0x-21,f(x)=f(x-2)=(x-2)(x-4).故f(x)=k0,f(x)在-3,-1与1,3上为增函数,在-1,1上为减函数.(3)由函数f(x)在-3,3上的单调性可知,f(x)在x=-3或x=1处取得最小值f(-3)=-k2或f(1)=-1,而在x=-1或x=3处取得最大值f(-1)=-k或f(3)=-.故有k-1时,f(x)在x=-3处取得最小值f(-3)=-k2,在x=-1处取得最大值f(-1)=-k.k=-1时,f(x)在x=-3与x=1处取得最
3、小值f(-3)=f(1)=-1,在x=-1与x=3处取得最大值f(-1)=f(3)=1.-1kb0)长轴的右端点为A,短轴端点分别为B、C,另有抛物线y=x2+b. (1)若抛物线上存在点D,使四边形ABCD为菱形,求椭圆的方程;(2)若a=2,过点B作抛物线的切线,切点为P,直线PB与椭圆相交于另一点Q,求的取值范围.解:(1)由四边形ABCD是菱形,得D(a,a2+b),且解得a=,b=,所以椭圆方程为3x2+9y2=1.(2)不妨设P(t,t2+b)(t0),由题图知切线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为y=k(x-t)+t2+b,由知x2-kx+kt-t2=0,于是=k2-4(kt-t2)=0,即k2-4kt+4t2=0,解得k=2t.所以PQ的方程为y=2tx-t2+b.又由于直线PQ过点B,所以-t2+b=-b,即b=.所以PQ的方程为y=2tx-.联立方程组消去y,得(t2+64)x2-32tx=0.所以点Q的横坐标为xQ=,所以=+1.又t2=2b(0,4),所以的取值范围为(1,).
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