【2021导与练-高校信息化课堂】高三理科数学二轮复习—专项训练高考中档题训练(三).docx

高考中档题训练(三)1.已知函数f(x)=4cos xsin(x+)-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-,上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=4cos xsin(x+)-1=4cos x(sin x+cos x)-1=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),f(x)的最小正周期为.(2)-x,-2x+.当2x+=时,即x=时,f(x)取得最大值2,当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1.2.围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需修理),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的修理费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元). (1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m,则y=45x+180(x-2)+1802a=225x+360a-360.由已知xa=360,得a=,y=225x+-360(x0).(2)x0,225x+2=10800.y=225x+-36010440.当且仅当225x=时,等号成立.即当x=24 m时,修建围墙的总费用最小.最小总费用是10440元.3.(2022温州期末)如图,四边形ABCD为矩形,AEB=,BC平面ABE,BFCE,垂足为F. (1)求证:BF平面AEC;(2)已知AB=2BC=2BE=2,在线段DE上是否存在一点 P,使二面角PACE为直二面角,假如存在,请确定P点的位置,假如不存在,请说明理由.解:以A为原点,AB为y轴,AD为z轴,建立直角坐标系.则A(0,0,0),B(0,2,0),C(0,2,1),D(0,0,1),E(,0),F(,),(1)=(,-,),=(0,2,1),=(,0),=0,=0,所以BF平面AEC.(2)设=t(0t1),=+t=(0,0,1)+t(,-1)=(t,t,1-t),设平面APC的法向量为n=(x,y,z),=(0,2,1),令y=1,则z=-2,x=,而平面AEC的一个法向量是=(,-,),-1=0,解得t=,所以存在点P,且DP=DE.