【2021导与练-高校信息化课堂】高三理科数学二轮复习—专项训练高考中档题训练(三).docx

高考中档题训练(三)
1.已知函数f(x)=4cos xsin(x+)-1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.
解:(1)∵f(x)=4cos xsin(x+)-1
=4cos x(sin x+cos x)-1
=sin 2x+2cos2x-1
=sin 2x+cos 2x
=2sin(2x+),
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵-≤x≤,
∴-≤2x+≤.
∴当2x+=时,
即x=时,f(x)取得最大值2,
当2x+=-,
即x=-时,f(x)取得最小值-1.
2.围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需修理),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的修理费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).

(1)将y表示为x的函数;
(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.

解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m,
则y=45x+180(x-2)+180·2a
=225x+360a-360.
由已知xa=360,
得a=,
∴y=225x+-360(x>0).
(2)∵x>0,
∴225x+≥2=10800.
∴y=225x+-360≥10440.
当且仅当225x=时,等号成立.
即当x=24 m时,修建围墙的总费用最小.
最小总费用是10440元.
3.(2022温州期末)如图,四边形ABCD为矩形,∠AEB=,BC⊥平面ABE,BF⊥CE,垂足为F.

(1)求证:BF⊥平面AEC;
(2)已知AB=2BC=2BE=2,在线段DE上是否存在一点 P,使二面角PACE为直二面角,假如存在,请确定P点的位置,假如不存在,请说明理由.
解:以A为原点,AB为y轴,AD为z轴,建立直角坐标系.则
A(0,0,0),B(0,2,0),C(0,2,1),D(0,0,1),

E(,,0),
F(,,),
(1)∵=(,-,),
=(0,2,1),
=(,,0),
∴·=0,·=0,
所以BF⊥平面AEC.
(2)设=t(0≤t≤1),
∴=+t
=(0,0,1)+t(,,-1)
=(t,t,1-t),
设平面APC的法向量为n=(x,y,z),
∵=(0,2,1),
∴
令y=1,则z=-2,x=,
而平面AEC的一个法向量是
=(,-,),
∴·--1=0,
解得t=,
所以存在点P,且DP=DE.