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数学月考试题
一、选择题
1．函数的定义域为
（A） （B） （C） （D）
y
2．设为可导函数，且满足，则过曲线上点处的切线斜率为
A．2 B．-1 C．1 D．-2
3．复数z=的共轭复数是 ( )
A．i+2 B．i-2 C．-2-i D．2+i
4．设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数
取函数。当=时，函数的单调递增区间为
A． B． C． D．
5．已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．定义域为的函数对任意的都有，且其导函数满足：，则当时，下列成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．f（x）是R上的可导函数，且f（x）+ x>0对x∈R恒成立，则下列恒成立的是（ ）
A．f（x）>0 B．f（x）<0 C．f（x）>x D．f（x）<x
8．已知随机变量X听从二项分布X～B（6，），则P（X＝2）等于 （ ）
A． B． C． D．
9．如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 （ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
10．将分别写有A，B，C，D，E，F的6张卡片装入3个不同的信封里中．若每个信封装2张，其中写有A，B的卡片装入同一信封，则不同的方法共有 （ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
11．已知盒中装有大小一样，外形相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到的白球条件下，第2次取到的是黑球的概率为 （ ）
A． B． C． D．
12．用数学归纳法证明不等式： （，），在证明这一步时，需要证明的不等式是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．复数z满足， 则z等于
（A）2-i （B）2+i （C）1+2i （D）1-2i
二、填空题
14．已知函数若上是减函数，则实数a的取值范围是
15．不等式 >，对一切实数都成立，则实 数的取值范围是
16．已知函数是定义在上的增函数, 且对任意正实数,都有成立.则：
（1） ；
（2）不等式的解集是____________.
17．已知和是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得，且，则在上的最大值为 .
18．设函数在上存在导数，，有，
在上，若，则实数的取值范围是_____________．
19．已知，则的值是
三、解答题
20．已知定义在R上的函数，对于任意实数x，y都满足，且当试推断函数的奇偶性与单调性，证明你的结论.
21．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设，若对任意，均存在，使得＜，求的取值范围．
22．（本小题满分14分）
某公司经销某产品，第天的销售价格为（为常数）（元∕件），第天的销售量为（件），且公司在第天该产品的销售收入为元．
（1）求该公司在第天该产品的销售收入是多少？
（2）这天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大？最大收入为多少？
23．（本小题满分10 分）已知 （）的开放式中的系数为11．
（1）求的系数的最小值；
（2）当的系数取得最小值时，求开放式中的奇次幂项的系数之和．
24．（本小题满分12 分）已知函数是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的、∈R，都满足，若=1，．
（1）求、、的值；
（2）猜想数列通项公式，并用数学归纳法证明．
25．（本题满分12分）已知函数．
（1）若，试确定函数的单调区间；
（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）设函数，求证：．
数学参考答案
1．C
【解析】略
2．B
【解析】，即，则在点处的切线斜率为－1，故选B。
3．C
【解析】
4．C
【解析】函数，作图易知，
故在上是单调递增的，选C。
5．C
【解析】
试题分析：中设，结合函数图像可知或，所以或，再次利用图像可知的取值范围是
考点：1.函数图像；2.函数求值域
6．
【解析】
试题分析：依据已知知函数关于对称，当时，函数增，当时，，函数减，所以是最大值，依据函数关于对称知，离对称轴近的大于离对称轴远的函数值，，所以知，．
考点：1．函数的对称性；2．导数的综合应用．
7．A
【解析】
试题分析：，所以函数为增函数，当时，函数值等于0，结合图像当时，，得到，当时，函数，即，故选A．
考点：1．复合函数的导数；2．导数的综合应用
8．D
【解析】
试题分析：依据二项分布的公式,故选D．
考点：二项分布的计算
9．C
【解析】
试题分析：依据先A再BD最终CE的挨次，分两种状况涂色，1：BD同色，有;2：BD不同色，有种
考点：1.分步计数原理；2.分状况争辩
10．B
【解析】
试题分析：AB分在同一组的方法数为,装在同一信封的种数为
考点：排列组合
11．D
【解析】
试题分析：第一次取白球为大事A，其次次取黑球为大事B
考点：条件概率
12．D
【解析】
试题分析：当时，那不等式左边的式子中的都换成，得到．
考点：数学归纳法
13．B
【解析】
试题分析：由题
考点：复数的运算
14．
【解析】 若
若
当
15．
【解析】略
16．（1）0；（2）
【解析】
试题分析：（1）令，则，整理得．
（2）∵是定义在上的增函数，且，
∴由，得，解得，即解集为．
考点：函数的单调性，对数不等式的解法．
17．5
【解析】
试题分析：由对任意的，存在常数，使得，可知为最小值，为最小值，对称轴为2
最大值为5
考点：1.不等式与函数的转化；2.函数单调性与最值
18．
【解析】
试题分析：设，所以，所以是奇函数，当时，，为减函数，又由于是奇函数，所以也是奇函数，又，所以函数在上为减函数，，所以，依据单调减函数，，所以．
考点：1．奇函数的性质；2．单调性的应用；3．解抽象不等式；4．导数的应用．
19．
【解析】
试题分析：由题意得，解得
考点：二项分布期望方差
20．奇函数，增函数
【解析】证明：定义在R上，定义域关于原点对称 1分
令 2分
令
即
为奇函数. 3分
在R上任取
即
在R上为增函数.
21．（1）详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数争辩函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础学问，考查同学的分析问题解决问题的力气、转化力气、计算力气.第一问，对求导，对通分，求函数的定义域，争辩的两个根和2的大小关系，分、、、四种状况进行争辩，利用，求函数的单调区间；其次问，先将已知转化为在上有，由已知，，下面关键是求，令即可求出a的取值范围.
试题解析：.
（1）.
①当时，，，在区间（0,2）上，在区间上，故的单调递增区间是（0,2），单调递减区间是.
②当时，，在区间（0,2）和上，；在区间上，故的单调递增区间是（0,2）和，单调递减区间是.
③当时，，故的单调递增区间是.
④当时，，在区间和上，；在区间上，，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（2）由已知，在上有.
由已知，，由（2）可知，
①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，
故.
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故.
由可知，，，
所以，，，
综上所述，.
考点：导数的运算、利用导数争辩函数的单调性、利用导数求函数的最值.
22．⑴第天的销售收入为元；⑵第天该公司的销售收入最大，最大值为 元．
【解析】本试题主要是考查了分段函数在实际生活中的运用。考查了同学们分析问题和解决问题的力气。
（1）先设该公司第天的销售收入为，
由已知，第天的销售价格，销售量．
得到参数a的值，然后代入可知第天的销售收入
（2）由条件得函数为分段函数可知（）
然后分析各段函数的最值，来得到分段函数的最值问题。
（1）设该公司第天的销售收入为，
由已知，第天的销售价格，销售量．
所以第天的销售收入，所以．………………2分
第天的销售收入 (元) ． ………………………………4分
（2）由条件得（）…………7分
当时，．
（当且仅当时取等号），所以，当时取最大值，．……9分
当时，，
所以，当时，取最大值为 …………………10分
当时，．
（当且仅当时取等号），所以当时，取最大值． 12分
由于，所以第天该农户的销售收入最大．
答：⑴第天的销售收入为元；⑵第天该公司的销售收入最大，最大值为 元．……………………………………………………………………………………14分
23．（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）首先利用生成法，写出的系数，得到的方程，然后同样用生成法写出的系数，转化为关于的二次函数，求出最小值；（2）由（1）可知：m=5，n=2，将函数开放，然后用赋值法，令，或，奇数项系数的和等于
试题解析：解：（1）由题意得：，即：m+3n=11．
x2的系数为：
当n=2时，x2的系数的最小值为19，此时m=5
（2）由（1）可知：m=5，n=2，则f（x）=（1+x）5+（1+3x）2
设f（x）的开放式为f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a5x5
令x=1,则f（1）=a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5
令x=-1,则f（-1）=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5
则a1+a3+a5==22,所求系数之和为22
考点：（1）二项式定理指定项或指定项系数；（2）赋值法求奇数项系数和．
24．详见解析
【解析】
试题分析：（1）依据公式，接受赋值法，依次得到结果；（2）依据（1）的结论，首先猜想，然后利用数学归纳法证明，数学归纳法的三个步骤分别是，先令得到，然后假设成立，再令，，然后得到．
试题解析：解：（1）
（2）由（1）可猜想： =n´
下用数学归纳法证明：
当n=1时，左边=右式= 1´ \ n=1时，命题成立。
假设n=k时，命题成立，即：=k´，
则n=k+1时，左边=
\ n=k+1时，命题成立。
综上可知：对任意n∈都有=n´。
所以：。
考点：1．赋值法；2．数学归纳法．
25．（1）详见解析；（2）；（3）详见解析．
【解析】
试题分析：（1）首先求函数的导数，求解，为增区间，或求，为减区间；（2）原式等价于对任意成立，，得到，然后争辩极值点与定义域的关系，即或是函数的单调性，确定函数的最小值，恒成立，指；（3）首先求出，然后接受赋值法和倒叙相加的方法，所赋值使，然后相乘得到不等式．
试题解析：解：（1）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是
（2）由可知：是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立
由得．
①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化状况如下表：
单调递减
微小值
单调递增
由此可得，在上，．
依题意得：，又．
综合①，②得，实数的取值范围是：．
（3），
，
由此得：
故．
考点：1．导数的综合应用；2．倒序相乘法；3．证明不等式．
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