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高考压轴题训练(四)
1. (2022浙江高考模拟冲刺卷)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的短轴长为单位圆C2:x2+y2=1的直径,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆短轴的上顶点B1作直线分别与单位圆C2和椭圆C1交于A,B两点(A,B两点均在y轴的右侧),设B2为椭圆的短轴的下顶点,求∠AB2B的最大值.
解:(1)由题意知b=1,
又e===,
解得a2=3,
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)由(1)得B1(0,1),B2(0,-1),
设过椭圆的短轴的上顶点B1的直线B1B的方程为
y=kx+1,
由于B1B2为圆的直径,
所以直线B2A的斜率k1=-.
把y=kx+1代入C1得B(-,),
由题意易知k<0,
且直线B2B的斜率为k2==-,
所以k1,k2>0,且k1=3k2,
又△B2AB是直角三角形,
所以∠AB2B必为锐角.
由于与的方向向量分别为(1,k1),(1,k2),
所以·=(1,k1)·(1,k2)=1+3,
又·=·cos∠AB2B
从而cos∠AB2B=,
=
=
≥,
当且仅当k2=时,cos∠AB2B取得最小值,由∠AB2B为锐角得∠AB2B的最大值为.
2.某企业接到生产3000台某产品的A、B、C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业方案支配200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).
(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A、B、C三种部件生产需要的时间;
(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.
解:(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为T1(x),T2(x),T3(x),
由题设有T1(x)==,
T2(x)=,
T3(x)=,
其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.
(2)完成订单任务的时间为
f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},
其定义域为{x|0<x<,x∈N*}.
易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数.
留意到T2(x)=T1(x),
于是①当k=2时,T1(x)=T2(x),
此时f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max(,).
由函数T1(x),T3(x)的单调性知,
当=时,f(x)取得最小值,
解得x=.
由于44<<45,
而f(44)=T1(44)=,f(45)=T3(45)=,
f(44)<f(45).
故当x=44时完成订单任务的时间最短,且最短时间为f(44)=.
②当k>2时,T1(x)>T2(x),
由于k为正整数,故k≥3,
此时≥=.
记T(x)=,
(x)=max{T1(x),T(x)},
易知T(x)是增函数,
则f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}= (x)=
max(,).
由函数T1(x),T(x)的单调性知,
当=时 (x)取最小值,
解得x=.
由于36<<37,
而 (36)=T1(36)=>,
(37)=T(37)=>.
此时完成订单任务的最短时间大于.
③当k<2时,T1(x)<T2(x),
由于k为正整数,故k=1,
此时f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max(,).
由函数T2(x),T3(x)的单调性知,
当=时,f(x)取最小值,
解得x=,类似①的争辩,
此时完成订单任务的最短时间为,大于.
综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.
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