【2021导与练-高校信息化课堂】高三理科数学二轮复习—专项训练高考压轴题训练(四).docx

高考压轴题训练(四)1. (2022浙江高考模拟冲刺卷)已知椭圆C1:+=1(ab0)的短轴长为单位圆C2:x2+y2=1的直径,且椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆短轴的上顶点B1作直线分别与单位圆C2和椭圆C1交于A,B两点(A,B两点均在y轴的右侧),设B2为椭圆的短轴的下顶点,求AB2B的最大值.解:(1)由题意知b=1,又e=,解得a2=3,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由(1)得B1(0,1),B2(0,-1),设过椭圆的短轴的上顶点B1的直线B1B的方程为y=kx+1,由于B1B2为圆的直径,所以直线B2A的斜率k1=-.把y=kx+1代入C1得B(-,),由题意易知k0,且k1=3k2,又B2AB是直角三角形,所以AB2B必为锐角.由于与的方向向量分别为(1,k1),(1,k2),所以=(1,k1)(1,k2)=1+3,又=cosAB2B从而cosAB2B=,=,当且仅当k2=时,cosAB2B取得最小值,由AB2B为锐角得AB2B的最大值为.2.某企业接到生产3000台某产品的A、B、C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业方案支配200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A、B、C三种部件生产需要的时间;(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.解:(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为T1(x),T2(x),T3(x),由题设有T1(x)=,T2(x)=,T3(x)=,其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.(2)完成订单任务的时间为f(x)=maxT1(x),T2(x),T3(x),其定义域为x|0x,xN*.易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数.留意到T2(x)=T1(x),于是当k=2时,T1(x)=T2(x),此时f(x)=maxT1(x),T3(x)=max(,).由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当=时,f(x)取得最小值,解得x=.由于4445,而f(44)=T1(44)=,f(45)=T3(45)=,f(44)2时,T1(x)T2(x),由于k为正整数,故k3,此时=.记T(x)=,(x)=maxT1(x),T(x),易知T(x)是增函数,则f(x)=maxT1(x),T3(x)maxT1(x),T(x)= (x)=max(,).由函数T1(x),T(x)的单调性知,当=时 (x)取最小值,解得x=.由于36, (37)=T(37)=.此时完成订单任务的最短时间大于.当k2时,T1(x)T2(x),由于k为正整数,故k=1,此时f(x)=maxT2(x),T3(x)=max(,).由函数T2(x),T3(x)的单调性知,当=时,f(x)取最小值,解得x=,类似的争辩,此时完成订单任务的最短时间为,大于.综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.