1、高考中档题训练(五)1.(2022嘉兴一模)已知函数f(x)=2sin(x+)cos x.(1)若x0,求f(x)的取值范围;(2)设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A为锐角,f(A)=,b=2,c=3,求cos (A-B)的值.解:(1)f(x)=(sin x+cos x)cos x=sin xcos x+cos2x=sin 2x+cos 2x+=sin(2x+)+,x0,2x+,-sin(2x+)1.f(x)0,1+.(2)由f(A)=sin(2A+)+=,得sin(2A+)=0,又A为锐角,所以A=,又b=2,c=3,所以a2=4+9-223cos =7,a=.由=,
2、得sin B=,又ba,从而B0),雨速沿E移动方向的分速度为c(cR).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|S成正比,比例系数为;其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时, (1)写出y的表达式;(2)设0v10,0c5,试依据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少.解:(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故y=(|v-c|+)=(3|v-c|+10).(2)由(1)知,当0vc时,y=(3c-3v+10)=-15;当cv10时,y=(3v-3c
3、+10)=+15.故y=当0c时,y是关于v的减函数,故当v=10时,ymin=20-.当1,AE平面ABC,平面BCD平面ABC, BD=CD,且BDCD.(1)若AE=2,求证:AC平面BDE;(2)若二面角ADEB为60,求AE的长.(1)证明:分别取BC,BA,BE的中点M,F,P,连接DM,MF,FP,DP,则MFAC,FPAE,且FP=AE=1, 由于BD=CD,BDCD,BC=2,M为BC的中点,所以DMBC,DM=1. 又由于平面BCD平面ABC, 所以DM平面ABC. 又AE平面ABC, 所以DMAE, 所以DMFP,且DM=FP,因此四边形DMFP为平行四边形, 所以MFD
4、P,所以ACDP.又AC平面BDE,DP平面BDE, 所以AC平面BDE. (2)解:法一取BC中点M,过M作MNED,交ED的延长线于N,连接BN,AM,DM,由于BCAM,BCDM, 所以BC平面DMAE,由于ED平面DMAE,所以BCED. 所以ED平面BMN,又BN平面BMN, 所以EDBN. 所以MNB为二面角AEDB的平面角, 即MNB=60, 在RtBMN中,BM=1,则MN=,BN=.在RtMND中,DN=. 设AE=h+1,则DE=,所以NE=+,又BE=,在RtBNE 中,BE2=BN2+NE2,即(h+1)2+22=()2+(+)2,解得h=,所以AE=+1.法二由(1)知DM平面ABC,AMMB,建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz.设AE=h,则M(0,0,0),B(1,0,0),D(0,0,1),A(0,0),E(0,h),=(-1,0,1),=(-1,h),设平面BDE的法向量n1=(x,y,z),则所以令x=1,所以n1=(1,1).又平面ADE的法向量n2=(1,0,0),所以cos=.解得h=+1,即AE=+1.
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