资源描述
[基础达标]
1．(2022·吉林长春毕业班其次次调研)已知集合P＝{x|x2－x－2≤0}，Q＝{x|log2(x－1)≤1}，则(∁RP)∩Q＝( )
A．[2，3] B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．(2，3] D．(－∞，－1]∪(3，＋∞)
解析：选C．依题意，得P＝{x|－1≤x≤2}，Q＝{x|1<x≤3}，则(∁RP)∩Q＝(2，3]．
2．设a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－2<x<1}，则a∶b∶c＝( )
A．1∶2∶3 B．2∶1∶3
C．3∶1∶2 D．3∶2∶1
解析：选B．∵－c<ax＋b<c，又a>0，
∴－<x<.
∵不等式的解集为{x|－2<x<1}，
∴∴
∴a∶b∶c＝a∶∶＝2∶1∶3.
3．(2021·高考江西卷)下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
解析：选A．由x<<x2可得
即解得综合知x<－1.
4．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x均成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2，2] B．(－2，2)
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2]
解析：选A．原不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4＜0，
①当m＝2时，对任意的x不等式都成立；
②当m－2＜0时，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)＜0，
∴－2＜m＜2，
综合①②，得m∈(－2，2]．
5．(2022·陕西西安质检)在R上定义运算：＝ad－bC．若不等式))≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选D．原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，x2－x－1＝－≥－，所以－≥a2－a－2，－≤a≤.
6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)等价于x(x－2)<0，解得0<x<2.
答案：{x|0<x<2}
7．若0<a<1，则不等式(a－x)>0的解集是________．
解析：原不等式即(x－a)<0，由0<a<1得a<，∴a<x<.
答案：
8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，猜想六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是__________．
解析：七月份：500(1＋x%)，八月份：500(1＋x%)2.
所以一至十月份的销售总额为：
3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，
解得1＋x%≤－2.2(舍)或1＋x%≥1.2，
∴xmin＝20.
答案：20
9．若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是{x|＜x＜2}．
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集．
解：(1)由题意知a＜0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式为－2x2－5x＋3＞0，
即2x2＋5x－3＜0，解得－3＜x＜，
即不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集为{x|－3<x<}．
10．某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时削减0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？
解：假设一次上网x(x<17)小时，则公司A收取的费用为1.5x元，
公司B收取的费用为1.7＋(1.7－0.1)＋(1.7－0.2)＋…＋[1.7－(x－1)×0.1]＝(元)．
由>1.5x(0<x<17)，
整理得x2－5x<0，解得0<x<5，
故当0<x<5时，A公司收费低于B公司收费，当x＝5时，A，B两公司收费相等，当5<x<17时，B公司收费低，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；为5小时时，选择公司A与公司B费用一样多；超过5小时小于17小时，选择公司B的费用少．
[力气提升]
1．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是( )
A．(4，5) B．(－3，－2)∪(4，5)
C．(4，5] D．[－3，－2)∪(4，5]
解析：选D．原不等式可能为(x－1)(x－a)<0，当a>1时得1<x<a，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a≤5，当a<1时得a<x<1，则－3≤a<－2，故a∈[－3，－2)∪(4，5]．
2．(2022·河南洛阳阶段测试)若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是( )
A． B．
C．(1，＋∞) D．
解析：选B．由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．
于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)≥0，f(1)≤0，解得a≥－，且a≤1，故a的取值范围为.
3．若关于x的不等式ax2－x＋2a<0的解集为∅，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意可知，问题等价于ax2－x＋2a≥0恒成立，
当a＝0时，－x≥0不恒成立，故a＝0舍去；
当a≠0时，要使ax2－x＋2a≥0恒成立，
即f(x)＝ax2－x＋2a的图象不在x轴的下方，
∴即
解得a≥，即a的取值范围是.
答案：
4．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2；若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________．
解析：当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，
∵x∈，
∴f(x)min＝f(－1)＝0，
f(x)max＝f(－2)＝1，
∴m＝1，n＝0，m－n＝1.
答案：1
5．已知不等式mx2－2x＋m－2＜0.
(1)若对于全部的实数x，不等式恒成立，求m的取值范围；
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
解：(1)对全部实数x，不等式mx2－2x＋m－2＜0恒成立，
即函数f(x)＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方，
当m＝0时，－2x－2＜0，明显对任意x不能恒成立；
当m≠0时，由二次函数的图象可知，
解得m＜1－，
综上可知m的取值范围是(－∞，1－)．
(2)设g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的一次函数，由＞0知g(m)在[－2，2]上为增函数，
则由题意只需g(2)＜0即可，
即2x2＋2－2x－2＜0，解得0＜x＜1.
即x的取值范围是(0，1)．
6．(选做题)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；
(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小．
解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)，
当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．
(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，
∵a>0，且0<x<m<n<，
∴x－m<0，1－an＋ax>0.
∴f(x)－m<0，即f(x)<m.
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