资源描述
[基础达标]
1．(2022·高考山东卷)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．众数 B．平均数
C．中位数 D．标准差
解析：选D．对样本中每个数据都加上一个非零常数时不转变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生转变．
2．(2021·高考辽宁卷)某班的全体同学参与英语测试，成果的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的同学人数是( )
A．45 B．50
C．55 D．60
解析：选B．依据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的同学人数是＝50.
3．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
解析：选D．把该组数据按从小到大的挨次排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a＝×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位数b＝＝15，众数c＝17，则a<b<C．
4．(2022·浙江杭州模拟)某商贩有600千克苹果出售，有以下两个出售方案：
①分成甲级200千克，每千克售价2.40元，乙级400千克，每千克售价1.20元；
②分成甲级400千克，每千克售价2.00元，乙级200千克，每千克售价1.00元．
两种出售方案的平均价格分别为1和2，则( )
A．1>2 B．1＝2
C．1<2 D．1与2的大小不确定
解析：选C．1＝×(200×2.40＋400×1.20)＝1.60，
2＝×(400×2.00＋200×1.00)≈1.67，
∴1<2.
5．(2022·安徽省名校模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )
A．13，12 B．13，13
C．12，13 D．13，14
解析：选B．设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝(a3)2＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64，(4－d)(2＋d)＝8，2d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故样本数据为：4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，平均数为＝＝13，中位数为＝13.
6. (2022·湖南省五市十校联合检测)某中学高三班级从甲、乙两个班级各选7名同学参与数学竞赛，他们取得的成果(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班同学的平均分是85，乙班同学成果的中位数是83，则x＋y的值为________．
解析：依题意，甲班同学的平均分85＝，故x＝5，乙班同学成果的中位数为83，故其成果为76，81，81，83，91，91，96，所以y＝3，x＋y＝8.
答案：8
7．(2022·吉林延边质检)5 000辆汽车经过某一雷达测速区，其速度频率分布直方图如图所示，则时速超过70 km/h的汽车数量为________．
解析：由时速的频率分布直方图可知，时速超过70 km/h的汽车的频率为图中70到80的矩形的面积，∴时速超过70 km/h的汽车的频率为0.010×(80－70)＝0.1.
∵共有5 000辆汽车，∴时速超过70 km/h的汽车数量为5 000×0.1＝500.
答案：500
8．(2022·湖北八校联考)对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：
(1)[25，30)年龄组对应小矩形的高度为________；
(2)据此估量该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25，35)的人数为________．
解析：设[25，30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，h＝0.04.志愿者年龄在[25，35)的频率为5(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25，35)的人数约为0.55×800＝440.
答案：(1)0.04 (2)440
9．(2021·高考安徽卷)为调查甲、乙两校高三班级同学某次联考数学成果状况，用简洁随机抽样，从这两校中各抽取30名高三班级同学，以他们的数学成果(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图：
(1)若甲校高三班级每位同学被抽取的概率为0.05，求甲校高三班级同学总人数，并估量甲校高三班级这次联考数学成果的及格率(60分及60分以上为及格)；
(2)设甲、乙两校高三班级同学这次联考数学平均成果分别为1，2，估量1－2 的值．
解：(1)设甲校高三班级同学总人数为n.
由题意知＝0.05，解得n＝600.
样本中甲校高三班级同学数学成果不及格人数为5，据此估量甲校高三班级这次联考数学成果的及格率为1－＝.
(2)设甲、乙两校样本平均数分别为′1、′2.
依据样本茎叶图可知30(′1－′2)＝30′1－30′2
＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92
＝2＋49－53－77＋2＋92
＝15.
因此′1－′2＝0.5.故1－2的估量值为0.5分．
10．(2022·辽宁大连调研)下面是60名男生每分钟脉搏跳动次数的频率分布表．
分组
频数
频率
频率/组距
[51.5，57.5)
4
0.067
0.011
[57.5，63.5)
6
0.1
0.017
[63.5，69.5)
11
0.183
0.031
[69.5，75.5)
20
0.333
0.056
[75.5，81.5)
11
0.183
0.031
[81.5，87.5)
5
0.083
0.014
[87.5，93.5]
3
0.05
0.008
(1)作出其频率分布直方图；
(2)依据直方图的各组中值估量总体平均数；
(3)估量每分钟脉搏跳动次数的范围．
解：(1)作出频率分布直方图如图．
(2)由组中值估量平均数为(54.5×4＋60.5×6＋66.5×11＋72.5×20＋78.5×11＋84.5×5＋90.5×3)÷60＝72.
(3)由样本数据可求得s≈8.69，
∴每分钟脉搏跳动次数的范围大致为[－s，＋s]，
即[63.31，80.69]，取整数即[64，81]．
[力气提升]
1．一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C．由x2－5x＋4＝0两根分别为1，4，
∴有或.
又a，3，5，7的平均数是B．
即＝b，＝b，a＋15＝4b，
∴符合题意，则方差s2＝5.
2．假如数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的平均数和方差分别为( )
A．和s2 B．2＋3和4s2
C．2＋3和s2 D．2＋3和4s2＋12s＋9
解析：选B．法一：所求平均数为(2x1＋3＋2x2＋3＋…＋2xn＋3)＝[2(x1＋x2＋…＋xn)＋3n]＝2＋3；方差为{[(2x1＋3)－(2＋3)]2＋[(2x2＋3)－(2x＋3)]2＋…＋[(2xn＋3)－(2x＋3)]2}＝[4(x1－)2＋4(x2－)2＋…＋4(xn－)2]＝4s2.
法二：原数据乘以2加上3得到一组新数据，则由平均数、方差的性质可知，新数据的平均数和方差分别是2x＋3和4s2.
3．(2022·安徽省“江南十校”联考)从某校高中男生中随机抽100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若要从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正、副队长，则这2人的体重不在同一组内的概率为________．
解析：体重在[60，70)的男生人数为0.030×10×100＝30，同理[70，80)的人数为20，[80，90]的人数为10，所以按分层抽样选取6人，各小组依次选3人，2人，1人，分别记为a，b，c；A，B；M.从这6人中选取2人共有15种结果，其中体重不在同一组内的结果有11种．故概率P＝.
答案：
4. (2022·湖北武汉市武昌区联考)已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号挨次平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．
(1)若第1组抽出的号码为2，则全部被抽出职工的号码为________；
(2)分别统计这5名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．
解析：由题意知被抽出职工的号码为2，10，18，26，34.由茎叶图知5名职工体重的平均数＝＝69，则该样本的方差s2＝[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.
答案：(1)2，10，18，26，34 (2)62
5．(2022·广东省惠州调研)某校从高一班级同学中随机抽取40名同学，将他们的期中考试数学成果(满分100分，成果均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中实数a的值；
(2)若该校高一班级共有同学640名，试估量该校高一班级期中考试数学成果不低于60分的人数；
(3)若从数学成果在[40，50)与[90，100]两个分数段内的同学中随机选取2名同学，求这2名同学的数学成果之差的确定值不大于10的概率．
解：(1)由于图中全部小矩形的面积之和等于1，
所以10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1，
解得a＝0.03.
(2)依据频率分布直方图，成果不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.
由于该校高一班级共有同学640名，利用样本估量总体的思想，可估量该校高一班级期中考试数学成果不低于60分的人数约为640×0.85＝544.
(3)成果在[40，50)分数段内的人数为40×0.05＝2，
成果在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4，
若从这6名同学中随机抽取2人，则总的取法有C＝15(种)．
假如2名同学的数学成果都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名同学的数学成果之差的确定值确定不大于10；假如一个成果在[40，50)分数段内，另一个成果在[90，100]分数段内，那么这2名同学的数学成果之差的确定值确定大于10.
则所取2名同学的数学成果之差的确定值不大于10的取法数为C＋C＝7，所以所求概率为P＝.
6．(选做题)某高三班级有500名同学，为了了解数学学科的学习状况，现从中随机抽出若干名同学在一次测试中的数学成果，制成如下频率分布表：
分组
频数
频率
[85，95)
①
②
[95，105)
0.050
[105，115)
0.200
[115，125)
12
0.300
[125，135)
0.275
[135，145)
4
③
[145，155]
0.050
合计
④
(1)依据上面图表，求出①②③④处应填的数值；
(2)在所给的坐标系中画出[85，155]的频率分布直方图及折线图；
(3)依据题中信息估量总体平均数，并估量总体落在[129，155]中的频率．
解：(1)由题意和表中数据可知，随机抽取的人数为＝40.由统计学问有④处应填1，③处＝0.100，应填0.100，②处1－0.050－0.100－0.275－0.300－0.200－0.050＝0.025，应填0.025，①处0.025×40＝1，应填1.
(2)频率分布直方图及折线图如图．
(3)利用组中值算得平均数为：90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；总体落在[129，155]上的频率为×0.275＋0.1＋0.05＝0.315.
故总体平均数约为122.5，总体落在[129，155]上的频率约为0.315.
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