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双基限时练(七)
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内微小值有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 设x0为f(x)的一个微小值点，则在x0左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，由y＝f′(x)的图象知，只有一个适合．
答案 A
2．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
解析 y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.可推断函数y＝3x－x3在x＝1处取得极大值，因此极大值点的坐标为(1,2)，即b＝1，c＝2，又ad＝bc，∴ad＝2.
答案 A
3．三次函数当x＝1时，有极大值，当x＝3时，有微小值，且函数的图象过原点，则该三次函数为( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
解析 本题若直接求解，相当于解一个大题，本题依据小题小做的原则，可接受试验找答案，明显四个函数的图象都过原点，下面分别求导函数，验证x＝1和x＝3都是导函数的根，对于B，y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．当x＝1和x＝3时，有y′＝0.而其他不适合题意．
答案 B
4．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析 y′＝6x2＋2ax＋36.依题意知6×22＋4a＋36＝0，∴a＝－15，∴y′＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，易知当x>3时，y′>0，∴函数的一个增区间为(3，＋∞)．
答案 B
5．函数f(x)＝x3－2ax2＋3a2x在(0,1)内有微小值，则实数a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，3)
C. D.
解析 f′(x)＝x2－4ax＋3a2＝(x－a)(x－3a)，易知a≠0，∴f′(0)＝3a2>0，Δ＝(－4a)2－12a2＝4a2>0，依题意可得解得0<a<.
答案 C
6．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值，又有微小值，则实数a的取值范围是________．
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由题意知f′(x)＝0有两个不同的实数根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)>0，解得a<－1，或a>2.
答案 a>2或a<－1
7．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋m，在R上的极大值为20，则实数m＝________.
解析 f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，
当－1＜x<3时，f′(x)>0，
当x>3时，f′(x)<0，
∴当x＝3时，f(x)有极大值，则
f(3)＝－33＋3×32＋9×3＋m＝20，
∴m＝－7.
答案 －7
8．曲线y＝x2＋4lnx上切线斜率的微小值为________．
解析 y′＝x＋(x>0)，令g(x)＝x＋，则g′(x)＝1－.令g′(x)＝0，得x＝2.当x∈(0,2)时，g′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时g′(x)>0，∴当x＝2时，g(x)有微小值g(2)＝2＋＝4.
答案 4
9．函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：
①－3是函数y＝f(x)的极值点；
②－1是函数y＝f(x)的最小值点；
③y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增；
④y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零．
以上正确命题的序号是________．
解析 由f′(x)的图象知，在－3的左右两侧f′(x)符号左负右正，是极值点，故①正确；②错；在(－3,1)上f′(x)≥0，故③正确；k＝f′(0)>0，故④错．
答案 ①③
10．设x＝－2，x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求常数a，b；
(2)推断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值点还是微小值点，并说明理由．
解 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由极值点的必要条件可知，x＝－2，x＝4是方程
f′(x)＝0的两根．
∴a＝－3，b＝－24.
(2)f′(x)＝3x2－6x－24＝3(x＋2)(x－4)
当x<－2时，f′(x)>0，
当－2<x<4时，f′(x)<0，
当x>4时，f′(x)>0，
∴x＝－2是f(x)的极大值点，x＝4是f(x)的微小值点．
11．设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)争辩f(x)的极值．
解 由已知得，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1，
(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2，
f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
当a>1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]．
f′(x)，f(x)随x的变化状况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，a－1)
a－1
(a－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
微小值
↗
从表上可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增；在(0，a－1)上单调递减；在(a－1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值．
当a>1时，函数在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得微小值1－(a－1)3.
12．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
解 ∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，
又f′(1)＝2a，∴3＋2a＋b＝2a，
∴b＝－3.
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，
又f′(2)＝－b，∴12＋4a＋b＝－b，
解得a＝－.
∴f(x)＝x3－x2－3x＋1.
从而f(1)＝－.
又∵f′(1)＝2×(－)＝－3.
故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－)＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.
(2)由(1)知，g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，
∴g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x＝－3x(x－3)e－x.
令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝3.
当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，0)上为减函数；
当x∈(0,3)时，g′(x)>0，故g(x)在(0,3)上为增函数；
当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数．
从而可知，函数g(x)在x＝0处取得微小值g(0)＝－3，
在x＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.
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