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双基限时练(六)
1．若f(x)＝(0<a<b<e)，则有( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)<f(b) D．f(a)·f(b)>1
解析 ∵f′(x)＝＝，
当x∈(0，e)时，
lnx∈(0,1)，∴1－lnx>0，即f′(x)>0.
∴f(x)在(0，e)上为增函数，又0<a<b<e，
∴f(a)<f(b)．
答案 C
2．若在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)＝0 D．f(x)≥0
解析 由题意知f(x)在(a，b)上为增函数，又f(a)≥0，∴在(a，b)内恒有f(x)>0.
答案 A
3．设f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)<0是f(x) 在(a，b)内单调递减的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析 f(x)在(a，b)内有f′(x)<0，则f(x)在(a，b)内单调递减；反过来，f(x)在(a，b)内单调递减，则f′(x)≤0.
∴f′(x)<0是f(x)在(a，b)内单调递减的充分不必要条件．
答案 A
4．设f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图象如右图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )
解析 分析导函数y＝f′(x)的图象可知，x<－1时，f′(x)<0.∴y＝f(x)在(－∞，－1)上为减函数；当－1<x<1时，f′(x)>0，∴y＝f(x)在(－1,1)内为增函数；当x>1时，f′(x)<0，∴y＝f(x)在(1，＋∞)上为减函数，只有B符合条件．
答案 B
5．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )
A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)
C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0
解析 ∵f′(x)＝ex＋1>0，∴f(x)＝ex＋x－2在其定义域内是增函数．又f(a)＝0，f(1)＝e－1>0，f(0)＝－1<0，
∴0<a<1.∵x>0，∴g′(x)＝＋2x>0，∴g(x)＝lnx＋x2－3在(0，＋∞)上为增函数，而g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，∴g(b)＝0⇒1<b<2.∴g(a)<0，f(b)>0.故g(a)<0<f(b)．
答案 A
6．已知f (x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于________．
解析 ∵f(x)＝x2＋2xf′(1)，
∴f′(x)＝2x＋2f′(1)．
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
答案 －4
7．已知导函数y＝f′(x)的图象如下图所示，请依据图象写出原函数y＝f(x)的递增区间是________．
解析 由图象可知，当－1<x<2，或x>5时，f′(x)>0，
∴f(x)的递增区间为(－1,2)和(5，＋∞)．
答案 (－1,2)，(5，＋∞)
8．下列命题中，正确的是________．
①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对于任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0；②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；③若在(a，b)内的任意x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；④若x∈(a，b)，总有f′(x)<0，则在(a，b)内f(x)<0.
答案 ③
9．已知R上的可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)<0的解集为________．
解析 由f(x)的图象可知，f′(x)<0⇒－1<x<1；f′(x)>0⇒x<－1或x>1.
因此(x2－2x－3)f′(x)<0，
即或
即或即1<x<3.
答案 {x|1<x<3}
10．已知f(x)＝ex－ax，求f(x)的单调区间．
解 ∵f(x)＝ex－ax.
∴f′(x)＝ex－a.
令f′(x)≥0，得ex≥a.
当a≤0时，有f′(x)>0在R上恒成立；
当a>0时，有x≥lna.
令f′(x)≤0，得ex≤a，
当a>0时，x≤lna.
综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，f(x)的增区间为[lna，＋∞)，减区间为(－∞，lna]．
11．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
解 函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1，或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
依题意应有当x∈(1,4)时，f′(x)<0，
当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.
所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.
所以a的取值范围是[5,7]．
12．设函数f(x)＝xekx(k≠0)．
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k的取值范围．
解 (1)f′(x)＝(1＋kx)ekx，f′(0)＝1，f(0)＝0，
曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x.
(2)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－(k≠0)．
若k>0，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)<0，
函数f(x)单调递减；
当x∈(－，＋∞)时，f′(x)>0，
函数f(x)单调递增．
若k<0，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，
函数f(x)单调递增；
当x∈(－，＋∞)时，f′(x)<0，
函数f(x)单调递减．
(3)由(2)知，若k>0，则当且仅当－≤－1，
即k≤1时，函数f(x)在(－1,1)内单调递增；
若k<0，则当且仅当－≥1，即k≥－1时，
函数f(x)在(－1,1)内单调递增．
综上可知，函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增时，k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．
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