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双基限时练(二十九)
1．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．外切
C．相交 D．内切
解析 圆：x2＋y2－2x＝0，配方(x－1)2＋y2＝1，圆心C1(1,0)，半径r1＝1.
圆：x2＋y2＋4y＝0，配方x2＋(y＋2)2＝4，圆心C2(0，－2)，半径r2＝2.
圆心距|C1C2|＝<r1＋r2＝3，且>r2－r1，∴两圆相交．
答案 C
2．两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值是( )
A. B.
C．5 D.
解析 圆心距＝＝2r.
∴r＝.
答案 D
3．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析 圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0⇒(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆心C1(2，－1)，半径r1＝2.圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0⇒(x＋2)2＋(y－2)2＝9，圆心C2(－2,2)，半径r2＝3.
∵|C1C2|＝＝5＝r1＋r2.
∴两圆相外切，∴公切线有3条．
答案 C
4．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析 圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0⇒(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.
∴圆心(－1，－2)，半径为r＝2.而圆心(－1，－2)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，
∴圆上点到直线的距离为的点有3个．
答案 B
5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
解析 设动圆圆心G(x，y)．当两圆内切时，有(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
当两圆外切时，有(x－5)2＋(y＋7)2＝25.应选D.
答案 D
6．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
解析 二圆相减可得x＋3y＝0.
答案 x＋3y＝0
7．以点(1,2)为圆心，与直线4x＋3y－35＝0相切的圆的方程是____________．
解析 半径r＝＝5，又圆心(1,2)．
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
答案 (x－1)2＋(y－2)2＝25
8．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为__________．
解析 当两圆内切时，有(0＋4)2＋(0－a)2＝(5－1)2.
∴a＝0；当两圆外切时，有(0＋4)2＋(0－a)2＝(5＋1)2，
∴a＝±2.
∴a＝0，或a＝±2.
答案 0，或±2
9．已知点P是圆x2＋y2＝16上的一个动点，点A(12,0)是x轴上的肯定点，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？并分析此轨迹与圆x2＋y2＝16的位置关系．
解 设线段PA的中点M(x，y)，P(x0，y0)，则由中点坐标公式，得⇒
P(x0，y0)在圆x2＋y2＝16上，
∴(2x－12)2＋(2y)2＝16.
即(x－6)2＋y2＝4.
这就是点M的轨迹方程．
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心，2为半径的圆．
两圆的圆心距d＝＝6，而两半径之和为6.
∴两圆相外切．
10．求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0也相切的圆的方程．
解 由题意设所求圆的方程为圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圆C与直线y＝0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)，或C2(a，－4)．
又已知圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.
若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7，或|CA|＝4－3＝1.
(1)当C1(a,4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72，或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±2.
∴所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝42，或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝42.
(2)当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72，或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2.
∴所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝42，或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝42.
11．求圆C1：x2＋y2－2x＋2y－1＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2y－3＝0的公共弦长．
解 两圆的方程相减，整理得公共弦所在的直线方程为2x－2y－1＝0.
把圆C1的方程化为标准方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝3.
它的圆心C1(1，－1)，半径r＝.
又圆心C1到直线2x－2y－1＝0的距离为
d＝＝，
所以公共弦长为2＝2＝.
12．已知圆C同时满足下列三个条件：
①与y轴相切；②圆心在直线x－3y＝0上；③在直线y＝x上截得的弦长为2.
求圆C的方程．
解 设圆C与直线y＝x交于A，B两点，
∵圆心在直线x－3y＝0上，
∴可设圆心的坐标为C(3a，a)．
∵圆C与y轴相切，∴半径r＝3|a|.
又圆心C到直线y－x＝0的距离d＝＝|a|.
由③知|AB|＝2，∴r2－d2＝2，
即9a2－2a2＝7.解得a＝±1.
∴圆心C的坐标为(3,1)或(－3，－1)．
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9
或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
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