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双基限时练(八)
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a3＝，a7＝2，则a5等于( )
A．－1 B．1
C．±1 D．以上均不对
解析 设等比数列的公比为q，∵a5＝a3q2，
∴a3与a5同号，故a5＝＝1.
答案 B
2．若数列{an}是公差为2的等差数列，则数列{2}是( )
A．公比为4的等比数列
B．公比为2的等比数列
C．公比为的等比数列
D．公比为的等比数列
解析 ＝2(an＋1－an)＝22＝4.
答案 A
3．若数列{an}为等比数列，则下列四个命题：①数列{a}也是等比数列；②数列{a2n}也是等比数列；③数列也是等比数列；④数列{lg|an|}也是等比数列．其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ④不正确，如an＝1，lg|an|＝0，而0,0,0，…不是等比数列．
答案 C
4．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析 由a1＝9d，ak＝9d＋(k－1)d＝(k＋8)d，a2k＝(2k＋8)d，由(k＋8)2＝9·(2k＋8)，得k＝4.
答案 B
5．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )
A．5 B．7
C．6 D．4
解析 由a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，
得(a1a2a3)·(a7a8a9)＝50.
即a＝50，an>0.
∴a＝5，即a4a5a6＝5.
答案 A
6．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则的值等于( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
解析 ∵{an}为等比数列，又a1，a3,2a2成等差数列，
∴a1＋2a2＝a3，∴1＋2q＝q2，得q＝1＋或q＝1－(舍)．
又＝＝(1＋)2＝3＋2.
答案 C
二、填空题
7．在各项都是正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1a15＝________.
解析 由lg(a3a8a13)＝6，
得a3a8a13＝106.
又a3a8a13＝a，∴a8＝102.
由等比中项知a1a15＝a＝(102)2＝104.
答案 104
8．在等比数列{an}中，公比q为整数，且a3＋a8＝124，a5·a6＝－512，则a5＝________.
解析 ∵a5a6＝a3a8＝－512，又a3＋a8＝124，得或又q为整数，∴
又a8＝a3q5＝128，得q＝－2，∴a5＝a3q2＝－16.
答案 －16
9．数列{an}是等比数列，an>0，已知a2a4＋2a3a5＋a4a6＝125，则a3＋a5＝________.
解析 由a2a4＋2a3a5＋a4a6＝125，得a＋2a3a5＋a＝125，a3＋a5＝±5，又an>0，故a3＋a5＝5.
答案 5
三、解答题
10．在等比数列{an}中，a1＝，an＝，q＝，求n.
解 ∵an＝a1·qn－1，得＝×n－1，
n－1＝，∴n－1＝2，得n＝3.
11．在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝54，a4a8＝5，求a4＋a8的值．
解 ∵{an}为等比数列，∴a3a5＝a，a6a10＝a，
∴a6a10＋a3a5＝a＋a＝54，
又a4a8＝5，∴(a4＋a8)2＝a＋2a4a8＋a＝54＋10＝64，
又an>0，∴a4＋a8＝＝8.
12．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．
解 设这三个数分别为，a，aq，由题意，
得
由①得a＝3，代入②，得q＝±3或q＝±.
∴当q＝3时，这三个数分别是1,3,9；
当q＝－3时，这三个数分别是－1,3，－9；
当q＝时，这三个数分别是9,3,1；
当q＝－时，这三个数分别是－9,3，－1.
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13．在等比数列{an}中，a1＝1，公比为q(q≠0)，且bn＝an＋1－an.
(1)推断数列{bn}是否为等比数列？说明理由；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解 (1)∵等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0)，
若q＝1，则an＝1，bn＝an＋1－an＝0，
∴{bn}是各项均为0的常数列，不是等比数列．
若q≠1，由于＝＝＝＝q，
∴{bn}是首项为b1＝a2－a1＝q－1，公比为q的等比数列．
(2)由(1)可知，当q＝1时，bn＝0；
当q≠1时，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1，
∴bn＝(q－1)qn－1(n∈N＋)．
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