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双基限时练(八) 余弦函数的图像与性质
一、选择题
1．函数f(x)＝cosx的图像的对称轴是( )
A．x＝kπ，k∈Z
B．x＝kπ＋，k∈Z
C．x＝2kπ＋，k∈Z
D．x＝2kπ－，k∈Z
解析 由余弦函数图像知．
答案 A
2．函数y＝1－2cosx的最小值、最大值分别是( )
A. －1,3 B. －1,1
C. 0,3 D. 0,1
解析 ymin＝1－2＝－1，ymax＝1＋2＝3.
答案 A
3．函数y＝log2(2cosx－)的定义域为( )
A.
B.(k∈Z)
C．[2kπ－30°，2kπ＋30°](k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 D
4．下列4个函数中，既是上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( )
A．y＝sin|x| B．y＝|sinx|
C．y＝|cos2x| D．y＝cosx
解析 由四个函数的图像可知．
答案 B
5．函数y＝cosx－2，x∈[－π，π]的图像是( )
解析 把y＝cosx，x∈[－π，π]的图像向下平移2个单位．
答案 A
6．若函数f(x)＝cos(x＋φ)，φ∈(0,2π)为偶函数，则φ＝( )
A. B．π
C.π D.
解析 cos(x＋π)＝－cosx，故选B.
答案 B
二、填空题
7．函数y＝cosx的值域为________．
解析 当x∈时，－≤cosx≤1，所以值域为.
答案
8．函数y＝cosx－1的对称中心为________．
解析 y＝cosx的对称中心为(kπ＋，0)，由y＝cosx图像向下平移一个单位，得到y＝cosx－1的图像．所以y＝cosx－1的对称中心为(kπ＋，－1)．
答案
9．y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________．
解析 由y＝2cosx，x∈[0,2π]上的图像可知封闭的平面图形的面积S＝2π×2＝4π.
答案 4π
10．cos与cos的大小关系为________．
解析 cos＝cos＝cosπ，
cos＝cos＝cos.
∵0<<π<π，而y＝cosx在[0，π]上是减函数，∴cos>cosπ，即cos>cos.
答案 cos>cos
三、解答题
11．求函数y＝log2cos2x的定义域、值域、单调区间．
解 由cos2x>0得2kπ－<2x<2kπ＋，
即kπ－<x<kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝log2cos2x的定义域为
(k∈Z)，
∵cos2x∈(0,1]∴y＝log2cos2x的值域为(－∞，0]．
由余弦函数的图像及函数的定义域可知，y＝log2cos2x在(k∈Z)单调递增，在(k∈Z)单调递减．
12．已知函数f(x)＝试写出它的性质(四个以上)．
解 该函数的图像如图所示，由图像可知：
①函数的定义域为R；
②函数的值域为；
③函数的最小正周期为2π；
④当且仅当x＝2kπ和x＝2kπ＋(k∈Z)时函数取得最大值1；
⑤当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时函数取得最小值－；
⑥当且仅当2kπ＋π<x<2kπ＋(k∈Z)时，f(x)<0；
⑦当且仅当2kπ－<x<2kπ或2kπ＋<x<2kπ＋(k∈Z)时，函数单调递增；
⑧当且仅当2kπ<x<2kπ＋或2kπ＋<x<2kπ＋(k∈Z)时，函数单调递减．
13．求当函数y＝－cos2x＋acosx－a－的最大值为1时a的值．
解 y＝－cos2x＋acosx－－＝－2＋－a－.
设cosx＝t，∵－1≤cosx≤1，∴－1≤t≤1.
∴求函数y＝－2＋－a－的最大值为1时a的值，等价于求二次函数y＝－2＋－a－(－1≤t≤1)的最大值为1时a的值．
①当<－1，即a<－2时，在t＝－1处，y有最大值，为－a－.由题设可知－a－＝1，∴a＝－>－2(舍去)．
②当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，在t＝处，y有最大值，为－－.
由题设可知－－＝1，解得a＝1±(正值舍去)．
③当>1，即a>2时，在t＝1处，y有最大值，为－.由题设可知－＝1，∴a＝5.
综上可得a＝1－或a＝5.
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