高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章-范例典悟：直接证明与间接证明.docx

直接证明与间接证明

例1 已知、、，求证：。

例2 当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大。

例3 已知三个关于的方程，，中，至少有一个方程有实根，求实数的取值范围。
参考答案
例1：
分析：不等式中的、、为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的平均数定理，再据不等式性质推导出证明的结论。
证明：∵，、、，∴，
∴，∴。
同理：，
将三式相加得。
∴
。
∴。
评注：在运用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，犹如向不等式相加，同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，确定要留意这些性质成立的前提条件。
例2：
分析：应用分析法证题时，语气总是假定的，通常用“欲证只需证”的语句，在证明过程中一个终结代替另一个终结时，必需留意它们间的等价性。
证明：设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，正方形的面积为，因此本题只需证明。
为了证明成立，只需证明，
两边同乘以正数得，因此，只需证明。
由于上式是成立的，所以。
这就证明白，假如一个圆和一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。
评注：在分析法证明中，从结论动身的每一个步骤所得到的推断都是结论成立的充分条件，最终一步归结到已被证明白的事实。因此，从最终一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。
例3：
分析：含有至多、至少字样的问题，往往用反证法去解决。
解析：三个方程都没有实根的充要条件是 即
解得。
∴使三个方程至少有一个方程有实根的实数的取值范围为。
评注：反证法的规律依据为：要证明命题“若则为真”，该证“若则为假”，因此，反证法的核心是从动身导出冲突。