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第9课时 等差、等比数列的综合应用
1.进一步生疏等差、等比数列的通项公式和前n项和公式.
2.利用等差、等比数列的学问解决与数列相关的综合问题.
重点:利用等差、等比数列的性质解决数列问题.
难点:等差、等比数列的性质的应用.
前面我们共同学习了等差、等比数列的概念和通项公式以及前n项和公式,并了解了它们的性质及其应用,这一讲我们将共同探究等差、等比数列的综合应用,以及在实际问题中如何利用等差、等比数列建立数学模型.
问题1:通项公式及其变形:(1)若{an}是等差数列,则an= a1+(n-1)d = am+(n-m)d ,d= .
(2)若{an}是等比数列,则an= a1qn-1 = amqn-m ,qn-m=.
通项公式的性质:(1)若m+n=p+q,则 .
(2)am,am+k,am+2k,am+3k,…
问题2:前n项和Sn及其变形:(1)等差数列Sn= = na1+d = nan-d .
(2)等比数列Sn= = (q≠1).
前n项和Sn的简洁性质:(1)等差:Sn=na1+= n2+(a1-)n ,故当d≠0时,Sn是关于n的一个二次函数,它的图象是抛物线y=x2+(a1-)x 上横坐标为正整数的一群孤立的点.而=n+(a1-)是关于n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),即数列{}是以为公差的等差数列.
(2)等比:当q=1时,Sn=na1是一个关于n的一次函数;当q≠1时,Sn==+(-qn),令A= ,B= - ,则Sn=A+Bqn,A+B=0.
(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,
问题3:与银行利率相关的几类模型
(1)银行储蓄单利公式:
利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和 y=a(1+xr) .
(2)银行储蓄复利公式:
利息按复利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和 y=a(1+r)x .
(3)产值模型:
原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值 y=N(1+p)x .
(4)分期付款模型:
a为贷款总额,r为月利率,b为月等额本息还款数,n为贷款月数,则b=.(可尝试证明)
问题4:数列综合应用题的解题步骤
(1) 审题 ——弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题.
(2) 分解 ——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”,每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.
(3) 求解 ——分别求解这些小题或这些小“步骤”,从而得到整个问题的解答.
(4) 还原 ——将所求结果还原到实际问题中.
我国汉代有位大将,名叫韩信.他每次集合部队,只要求部下先后按1~3、1~5、1~7报数,然后再报告一下各队每次报数的余数,他就知道到了多少人.他的这种奇异算法,被人们称为鬼谷算,也叫隔墙算,或称为韩信点兵,外国人还称它为“中国剩余定理”.
1.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则等差数列{an}的公差为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】在等差数列{an}中,∵a1+a5=10,
∴2a3=10,∴a3=5,又∵a4=7,∴公差为2.
【答案】B
2.在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=60,则a9+a10等于( ).
A.120 B.150 C.240 D.480
【解析】由等比数列性质知q2==2,
所以a9+a10=(a1+a2)·q8=30×24=480.
【答案】D
3.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,若{}为等差数列,则a11= .
【解析】由等差数列的性质知,,成等差数列,则=+,
即=+,解得a11=.
【答案】
4.已知函数f(x)=ax的图象过点(1,),且点(n-1,)(n∈N*)在函数f(x)=ax的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=an+1-an,若数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn<5.
【解析】(1)∵函数f(x)=ax的图象过点(1,),
∴a=,f(x)=()x.
又点(n-1,)(n∈N*)在函数f(x)=ax的图象上,从而=,即an=.
(2)由bn=-=得,
Sn=++…+,
则Sn=++…++,
两式相减得:Sn=+2(++…+)-,
∴Sn=5-,∴Sn<5.
等差数列、等比数列的基本量问题
有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,其次个数与第三个数的和是12,求这四个数.
【方法指导】本题有三种设未知数的方法:(法一)设前三个数为a-d,a,a+d,则第四个数由已知条件可推得为;(法二)设后三个数为b,bq,bq2,则第一个数由已知条件推得为2b-bq;(法三)设第一个数与其次个数分别为x,y,则第三、第四个数依次为12-y,16-x.
利用余下的条件列方程组解出相关的未知数,从而求出这四个数.
【解析】(法一)设前三个数为a-d,a,a+d,则第四个数为.
依题意有
解方程组得:或
所求四个数为:0,4,8,16或15,9,3,1.
(法二)设后三个数为b,bq,bq2,则第一个数为2b-bq.
依题意有
解方程组得:或
所求四个数为:0,4,8,16或15,9,3,1.
(法三)设四个数依次为x,y,12-y,16-x.
依题意有
解方程组得:或
这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
【小结】 数列的设法有很多种,方法各异,各有千秋,望同学们认真体会各自的奥妙!
已知Sn求an并推断新数列为等差数列及用错位相减法求和
设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列{bn}满足b1=2,bn+1-2bn=8an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:数列{}为等差数列,并求{bn}的通项公式;
(3)设数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.
【方法指导】(1)依据Sn与an的关系进行求解;(2)利用等差数列的定义进行判定;(3)利用错位相减法求和.
【解析】(1)当n=1时,a1=S1=21-1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,
由于a1=1适合上式,所以an=2n-1(n∈N*).
(2)由于bn+1-2bn=8an,所以bn+1-2bn=2n+2,即-=2,所以{}是首项为=1,公差为2的等差数列.
所以=1+2(n-1)=2n-1,所以bn=(2n-1)·2n.
(3) 由于Tn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n,①
所以2Tn=1·22+3·23+…+(2n-5)·2n-1+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,②
由①-②得:-Tn=2+23+24+…+2n+1-(2n-1)·2n+1,化简得Tn=(2n-3)·2n+1+6.
【小结】本题涉及三种题型和基本方法,必需弄清且切实把握其要点.
数列的实际应用
假设某市:2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.估量在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)哪年建筑的中低价房的面积占该年建筑住房面积的比例首次大于85%?
【方法指导】依据题中条件得出总面积和相应的不等式,再用数列方法求解.
【解析】(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,则Sn=250n+×50=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10,即到2021年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设第n年建筑的中低价房满足题意,则有400(1+8%)n-1·85%<25n2+225n.解出n即可.
[问题]上述解法正确吗?
[结论]不正确.(2)问中应是第几年的中低价房的面积而不是累计面积.
于是,正确解答如下:
(1)同错解部分.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1.
由题意可知an>0.85bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.由于n是正整数,将1,2,…依次代入可得满足上述不等式的最小正整数n=6,即到2009年底,当年建筑的中低价房的面积占该年建筑住房面积的比例首次大于85%.
【小结】对应用题的审题确定要认真认真,否则很简洁出错.
三个数成等比数列,若其次个数加4就成等差数列,再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列,求这三个数.
【解析】(法一)按等比数列设三个数,设原数列为a,aq,aq2.
由已知得a,aq+4,aq2成等差数列,
即2(aq+4)=a+aq2;①
a,aq+4,aq2+32成等比数列,
即(aq+4)2=a(aq2+32),即aq+2=4a.②
联立①②解得:或
∴这三个数为:2,6,18或,-,.
(法二)按等差数列设三个数,设原数列为b-d,b-4,b+d,
由已知:三个数成等比数列,
即(b-4)2=(b-d)(b+d),
⇒8b-d2=16.①
又b-d,b,b+d+32成等比数列,
即b2=(b-d)(b+d+32)
⇒32b-d2-32d=0.②
①②两式联立,解得:或
∴这三个数为,-,或2,6,18.
(法三)任意设三个未知数,设原数列为a1,a2,a3,
由a1,a2,a3成等比数列,
得:=a1a3.①
由a1,a2+4,a3成等差数列,
得:2(a2+4)=a1+a3.②
由a1,a2+4,a3+32成等比数列,
得:(a2+4)2=a1(a3+32).③
联立①②③,解得:或
已知等差数列{an},a3=3,a2+a7=12.
(1)求等差数列{an}的通项公式;
(2)设bn=n·,求数列{bn}的前n项和.
【解析】(1)由已知a2+a7=12可得a4+a5=12,
又由于a3=3,所以a3+a4+a5=15,所以a4=5,
所以d=a4-a3=2,a1=a3-2d=-1,
所以an=2n-3.
(2)由(1)可知bn=n·22n-3,设数列{bn}的前n项和为Tn,
所以Tn=1·2-1+2·21+3·23+…+n·22n-3,①
4Tn=1·21+2·23+…+(n-1)22n-3+n·22n-1,②
①-②可得:
-3Tn=2-1+21+23+…+22n-3-n·22n-1
=-n·22n-1,
所以Tn=+=·4n+.
为了建设和谐社会,我国打算治理垃圾.经调查,近10年来我国城市垃圾的年平均增长率为3%,到2021年底堆存垃圾已达60亿吨,侵占了约5亿平方米的土地,目前我国还以年产1亿吨的速度产生新的垃圾,垃圾治理已刻不容缓.
(1)问2004年我国城市垃圾约有多少亿吨?
(2)假如从2022年起,每年处理上年堆存垃圾的,到2021年底,我国城市垃圾约有多少亿吨?可节省土地多少亿平方米?
【解析】(1)设2004年我国城市垃圾约有a亿吨,则有
a+a(1+3%)+a(1+3%)2+…+a(1+3%)9=60,
∴a·=60,∴a=≈5.2(亿吨).
(2)2022年底有垃圾60×+1亿吨;
2021年底有垃圾(60×+1)×+1=60×++1;
2022年底有垃圾(60×++1)×+1=60×+++1;
……
2021年底有垃圾60×()6+()5+()4+…+1=60×()6+≈36.6(亿吨).
可节省土地23.4×≈2(亿平方米).
1.假如在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( ).
A.14 B.21 C.28 D.35
【解析】在等差数列{an}中,a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,
∴a3+a4+a5=3a4=12,
∴a4=4,∴a1+a2+…+a7=7a4=7×4=28.
【答案】C
2.已知函数f(x)满足f(x+1)=+f(x),x∈R,且f(1)=,则数列{f(n)}(n∈N*)的前20项的和为( ).
A.305 B.315 C.325 D.335
【解析】由已知f(x+1)-f(x)=,
则数列{f(n)}是首项为,公差为的等差数列,
其前20项和为20×+×=335,故选D.
【答案】D
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=(2n-1)(n+p),则实数p= .
【解析】∵等差数列的前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d=n2+(a1-)n=(2n-1)(n+p)=2n2+(2p-1)n-p,
∴-p=0,即p=0.
【答案】0
4.求数列{(3n-1)·4n-1}的前n项和Sn.
【解析】Sn=2×40+5×4+8×42+…+(3n-1)·4n-1,①
4Sn=2×4+5×42+…+(3n-4)·4n-1+(3n-1)·4n,②
②-①得:3Sn=-2-3(4+42+…+4n-1)+(3n-1)·4n=2+(3n-2)·4n,
所以Sn=(n-)·4n+.
(2021年·陕西卷)设Sn表示数列{an}的前n项和.
(1)若{an}是等差数列,推导Sn的计算公式;
(2)若a1=1,q≠0,且对全部正整数n,有Sn=.推断{an}是否为等比数列,并证明你的结论.
【解析】(1)(法一)设等差数列{an}的公差为d,则:
Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d],
又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d],
∴2Sn=n(a1+an),
∴Sn=.
(法二)设等差数列{an}的公差为d,则Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d],
又Sn=an+an-1+…+a1
=[a1+(n-1)d]+[a1+(n-2)d]+…+a1,
∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+…+[2a1+(n-1)d]=2na1+n(n-1)d,
∴Sn=na1+d.
(2){an}是等比数列.证明如下:
∵Sn=,
∴an+1=Sn+1-Sn=-==qn.
∵a1=1,q≠0,∴当n≥1时,有==q,
因此数列{an}是首项为1且公比为q的等比数列.
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