高中数学(北师大版)选修2-3教案：第1章-典型例题：分类加法计数原理.docx

例析分类加法计数原理
分类加法计数原理虽然易学、能懂、好用，但要达到会用的境界，则需要把原理的理解提高到突出的位置.
一、突出“一个条件”
在运用分类加法计数原理解决问题之前，要突出先推断问题是否符合该原理的条件——分类，并且类与类之间互不相容. 从集合运算的角度分析就是：若问题符合原理中的条件，则可得出结论，即.
例1 在全部的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数有 个.
分析：从“个位数字大于十位数字的两位数”的题设信息，可知问题与分类有关，且可按十位数字的不同进行分类．
解：∵两位数中的十位数字小于个位数字，∴十位上的数字可以取1，2，3，4，5，6，7，8，即两位数可分为八类，且每一类中满足条件的两位数依次是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．依据分类加法计数原理，共有个两位数．
二、突出“一件事情”
在运用分类加法计数原理解决问题的过程之中，要突出弄清“一件事情”是什么，只有精确     理解了“一件事情”的含义，才能进一步分析有几类方案去“完成一件事情”，用每一类的任何一种方法是否都可以“独立完成一件事情” 等问题.
例2 (07广东卷)如图1是某汽车修理公司的修理点环形分布图．公司在年初支配给四个修理点某种配件各50件．在使用前发觉需将四个修理点的这批配件分别调整为，，，件，但调整只能在相邻修理点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(件配件从一个修理点调整到相邻修理点的调动件次为)为( )
(A)15 (B)16
(C)17 (D)18
分析：一件事情是“一件配件从一个修理点调整到相邻修理点的一次调动”，且分为三类．
解：分三类：第一类，修理点中的10个配件移动到修理点，这时修理点已满足40个配件的条件，且有调动件次为10；其次类，修理点中的5个配件移动到修理点，这时修理点已满足45个配件的条件，且有调动件次为5；第三类，修理点的1个配件移动到修理点，这时修理点已分别满足54、61个配件的条件，且有调动件次为1．依据分类加法计数原理，最少的调动件次为，故选(B)．
点评：把“完成一件事情”与“计算完成这件事情的方法总数”区分开来，通过阅读分析即可找到“一件事情”是什么．
三、突出“一个原则”
分类时要突出一个原则，那就是“不重不漏”. 具体地说，分类时首先要依据问题的特点确定一个标准，然后在这个标准下进行分类，其总和还是原问题，这就是“不遗漏”；其次，分类时要留意完成这件事的任何一种方法必需属于且只能属于某一类方案，这就是“不重复”.
例3 如图2，电路中有4个电阻和一个电流表，若没有电流流过电流表，其缘由仅因电阻断路的可能性有( )
(A) 9种 (B)10种
(C)11种 (D)12种
分析：完成“因电阻断路而没有电流流过电流表”这件事，若以同时考虑是否断路为标准，则可分为四类．
解：分四类：第一类，若断路断路，则或可断路也可不断路，有4种状况；其次类，若断路不断路，则与至少有一个断路，有3种状况；第三类，若不断路断路，则或可断路也可不断路，有4种状况；第四类，若不断路不断路，则不行能断路．依据分类加法计数原理，共有种可能性，故选(C)．
点评：标准不同其分类的结果也不同，本题也可以只考虑（或）是否断路为标准分为两类，但这时求某类的方法数可能会困难一些．
四、突出“一种思想”
理解分类加法计数原理时还要突出一种思想，这也是最基本、最重要的思想方法：当面临一个简洁问题时，可以分解为若干个简洁的问题，然后分类解决，各个击破，再将它们整合起来得到整个问题的解决，达到以简驭繁、化难为易的效果.
例4 如图3，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点向结点传递信息，信息可沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是( )
(A) 26 (B)24
(C)20 (D)19
分析：完成“从结点向结点传递信息”这件事，若以网线为标准，则也可分为四类，从而分解为若干个简洁的问题后再各个击破．
解：分四类：第一类，网路线为，单位时间传递的最大信息量是3；其次类，网路线为，单位时间传递的最大信息量是4；第三类，网路线为，单位时间传递的最大信息量是6；第四类，网路线为，单位时间传递的最大信息量是6. 依据分类加法计数原理，共有最大信息量是，故选(D)．
点评：分解问题、各个击破的数学思想，不但可以运用于数学本身，而且还可以运用于生活、生产实际的各行各业之中．