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3.1 随机大事的概率
3.1.1 随机大事的概率
一、基础达标
1．下列大事中，是随机大事的有 ( )
①在一条大路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆．
②若a为整数，则a＋1为整数．
③放射一颗炮弹，命中目标．
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 C
解析 当a为整数时，a＋1肯定为整数，是必定大事，其余3个均为随机大事．
2．(2021·洛阳高一检测)下列大事中，不行能大事为 ( )
A．三角形内角和为180°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
答案 C
解析 若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴C为不行能大事，而A、B、D均为必定大事．
3．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不行能大事为 ( )
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
答案 C
解析 25件产品中只有2件次品，所以不行能取出3件都是次品．
4．“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的结果共有( )
A．6种 B．12种 C．24种 D．36种
答案 D
解析 试验的全部结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种．
5．给出下列3种说法：
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；②作7次抛硬币的试验，结果3次消灭正面，因此，消灭正面的概率是＝；③随机大事发生的频率就是这个随机大事发生的概率．其中正确说法的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 A
解析 由频率与概率之间的联系与区分知，①②③均不正确．
6．已知随机大事A发生的频率是0.02，大事A消灭了10次，那么共进行了________次试验．
答案 500
解析 设进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验．
7．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5 544
9 607
13 520
17 190
男婴数nA
2 883
4 970
6 994
8 892
(1)计算男婴诞生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴诞生的频率是否稳定在一个常数上？
解 (1)男婴诞生的频率依次是：0.520 0，0.517 3，0.517 3，0.517 3.
(2)各个频率均稳定在常数0.517 3上．
二、力量提升
8．下列说法正确的是 ( )
A．任何大事的概率总是在(0，1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
答案 C
解析 必定大事发生的概率为1，不行能大事发生的概率为0，所以任何大事发生的概率总在[0，1]之间，故A错，B、D混淆了频率与概率的概念，也错．
9．某人捡到不规章外形的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：
落在桌面的数字
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
则落在桌面的数字不小于4的频率为________．
答案 0.35
解析 落在桌面的数字不小于4，即4，5的频数共13＋22＝35.所以频率＝＝0.35.
10．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值为________．
答案 16
解析 至少需摸完黑球和白球共15个．
11．指出下列试验的结果：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差．
解 (1)结果：红球，白球；红球，黑球；白球，黑球．
(2)结果：
1－3＝－2，3－1＝2，
1－6＝－5，6－1＝5，
1－10＝－9，10－1＝9，
3－6＝－3，6－3＝3，
3－10＝－7，10－3＝7，
6－10＝－4，10－6＝4.
即试验的结果为：－2，2，－5，5，－9，9，－3，3，－7，7，－4，4.
三、探究与创新
12．(1)某厂一批产品的次品率为，问任意抽取其中的10件产品是否肯定会发觉一件次品？为什么？
(2)10件产品的次品率为，问这10件中必有一件次品的说法是否正确？为什么？
解 (1)不肯定，此处次品率指概率．从概率的统计定义看，当抽取件数相当多时，其中消灭次品的件数与抽取总件数之比在四周摇摆，是随机大事结果，而不是确定性数字结果，事实上这10件产品中有11种可能，全为正品，有1件次品，2件次品，……直至有10件次品，本题若改为“可能有一件次品”便是正确的了．
(2)正确．这是确定性数学问题．
13．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：
直径
个数
直径
个数
6.88<d≤6.89
1
6.93<d≤6.94
26
6.89<d≤6.90
2
6.94<d≤6.95
15
6.90<d≤6.91
10
6.95<d≤6.96
8
6.91<d≤6.92
17
6.96<d≤6.97
2
6.92<d≤6.93
17
6.97<d≤6.98
2
从这100个螺母中任意抽取一个，求：
(1)大事A(6.92<d≤6.94)的频率；
(2)大事B(6.90<d≤6.96)的频率；
(3)大事C(d>6.96)的频率；
(4)大事D(d≤6.89)的频率．
解 (1)大事A的频率
f(A)＝＝0.43.
(2)大事B的频率
f(B)＝＝0.93.
(3)大事C的频率f(C)＝＝0.04.
(4)大事D的频率f(D)＝＝0.01.
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