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1.3 算法案例
一、基础达标
1．下列说法中正确的个数为 ( )
(1)辗转相除法也叫欧几里得算法；
(2)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；
(3)求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；
(4)编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 (1)、(2)、(4)正确，(3)错误．
2．1 037和425的最大公约数是 ( )
A．51 B．17 C．9 D．3
答案 B
解析 ∵1 037＝425×2＋187，
425＝187×2＋51，
187＝51×3＋34，
51＝34×1＋17，
34＝17×2，
即1 037和425的最大公约数是17.
3．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是 ( )
A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，5
答案 A
解析 秦九韶算法中最多需用加法和乘法的次数，由多项式的次数n可知，∴选A.
4．两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为 ( )
A．12 B．11 C．10 D．9
答案 B
解析 101(2)＝1×22＋0×21＋1×20＝5，110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6.
5．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为 ( )
A．27 B．11
C．109 D．36
答案 D
解析 将函数式化成如下形式．
f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1
由内向外依次计算：v0＝1，
v1＝1×3＋0＝3，
v2＝3×3＋2＝11，
v3＝11×3＋3＝36.
6．三位七进制数中的最大数表示的十进制的数是 ( )
A．322 B．402 C．342 D．365
答案 C
解析 三位七进制数中的最大数为666(7)，则转化为十进制为666(7)＝6×72＋6×71＋6×70＝294＋42＋6＝342.
7．(1)用辗转相除法求288与123的最大公约数．
(2)用更相减损术求57与93的最大公约数．
解 (1)288＝123×2＋42，123＝42×2＋39，
42＝39×1＋3，39＝3×13，
∴288和123的最大公约数是3.
(2)(93，57)→(36，57)→(36，21)→(15，21)→(15，6)→(9，6)→(3，6)→(3，3)，
∴93与57的最大公约数是3.
二、力量提升
8．下列各数中最小的数是 ( )
A．101 010(2) B．210(8)
C．1 001(16) D．81
答案 A
解析 101010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42.
210(8)＝2×82＋1×81＋0×80＝136，
1001(16)＝1×163＋0×162＋0×16＋1×160＝4 097，故选A.
9．将八进制数127(8)化成二进制数为________．
答案 1 010 111(2)
解析 先将八进制数127(8)化为十进制数：127(8)＝1×82＋2×81＋7×80
＝64＋16＋7＝87，
再将十进制数87化成二进制数：
∴87＝1 010 111(2)，
∴127(8)＝1 010 111(2)．
10．用秦九韶算法求函数f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4，当x＝－1时的值时，v2的结果是________．
答案 6
解析 此题的n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，
由秦九韶算法的递推关系式(k＝1，2，…，n)，得v1＝v0x＋a3＝2×(－1)－3＝－5.
v2＝v1x＋a2＝－5×(－1)＋1＝6.
11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．
解 f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以v0＝7，
v1＝7×3＋6＝27，
v2＝27×3＋5＝86，
v3＝86×3＋4＝262，
v4＝262×3＋3＝789，
v5＝789×3＋2＝2 369，
v6＝2 369×3＋1＝7 108，
v7＝7 108×3＝21 324.
故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.
三、探究与创新
12．有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g，343 g，133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？
解 每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求147和343的最大公约数.343－147＝196，196－147＝49，147－49＝98，98－49＝49.
∴147和343的最大公约数为49.
同理可求得49与133的最大公约数为7.
所以每瓶最多装7克．
13．分别用算法步骤、程序框图、程序语句表示把k进制数a(共有n位数)转化成十进制数b.
解 算法步骤：
第一步，输入a，k，n的值．
其次步，赋值b＝0，i＝1.
第三步，b＝b＋ai·ki－1，i＝i＋1.
第四步，推断i>n是否成立．若是，则执行第五步；否则，返回第三步．
第五步，输出b的值．
程序框图：
程序语句：
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