高中数学(北师大版)选修2-1教案：第2章-距离的计算-参考教案.docx

2.6 距离的计算 教案
一、教学目标：
能用向量方法进行有关距离的计算。
二、教学重点：向量方法求点到面的距离。
教学难点：向量方法求点到面的距离。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。
2、距离的特征：⑴距离是指相应线段的长度；⑵此线段是全部相关线段中最短的；⑶除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。
3、求空间中的距离有⑴直接法，即直接求出垂线段的长度；⑵转化法，转化为线面距或面面距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求解；⑶向量法求解。
（二）、新课探析
1、两点间的距离公式
设空间两点，则
2、向量法在求异面直线间的距离
设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模。
3、向量法在求点到平面的距离中
（1）设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P到平面的距离d等于在方向上正射影向量的模。
（2）先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P（x0,y0,z0）到平面AX+BY+CZ+D=0的距离d为：d=
（三）、学问运用
1、例1 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=，底面ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=1，求点B1到平面A1BC的距离。
解1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：
A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,0）A1（1,0,），B1（0,1,），C1（0,0,）
∴ =（－1,1,－）， =（－1,0,－） =（1,－1,0）
设平面A1BC的一个法向量为，则
即
所以，点B1到平面A1BC的距离
解2 建系设点同上（略），设平面A1BC的方程为ax+by+cz+d=0
(a,b,c,d不全为零)，把点A1，B，C三点坐标分别代入平面方程得
平面A1BC的方程为x+z=0
又 B1（0,1,）
设点B1到平面A1BC的距离为d，则
d= =

2、例2（2010年福建卷）如图，四周体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
解：（I）略
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则

异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设平面ACD的法向量为则

令得是平面ACD的一个法向量，又
点E到平面ACD的距离
3、例3（2010陕西卷理第20题）如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。
解（Ⅰ）略
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，
AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，
建立空间直角坐标系O—xyz，如图.
面BCE，BE面BCE， ，
在的中点，

设平面AEC的一个法向量为，
则解得
令得是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为，

∴二面角B—AC—E的大小为
（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，
∴点D到平面ACE的距离
（四）、回顾总结：向量法求距离，（1）设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P到平面的距离d等于在方向上正射影向量的模。
（2）先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P（x0,y0,z0）到平面AX+BY+CZ+D=0的距离d为：d=。
（五）、布置作业：课本习题2-6 A组中2、3 B组中题目
五、教后反思：