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反证法的应用例题解析
反证法是一种间接证明的方法，其基本思路是从命题结论的反面动身，引出冲突，从而证明命题成立。运用反证法的关键是“查找冲突”，可以与已知的公理、定义、定理冲突；与题目的已知条件冲突；与临时假设冲突或推出两个相互冲突的命题。下面结合解题实际,谈一谈什么时侯宜用反证法。
一、证明否定型命题时常用反证法
例1假如是不全相等的实数，若成等差数列，求证：不成等差数列。
证明：假设成等差数列，则
由于成等差数列，得①
那么，即②
由①、②得与是不全相等的实数冲突。
故不成等差数列。
点评：本题是否定型命题，对于否定型命题的常规论证方法也是用反证法，从否定结论开头，在成等差数列的条件下进行推理，得到又成等比数列，因此，与已知冲突，从而结论成立。
二、正面证明困难时宜用反证法
例2求证：方程的解是惟一的.
证明：确定方程的解：由对数的定义易得是这个方程的一个解.
证明惟一性：假设这个方程的不是惟一的，它还有另解，则， 又，则，即…….①， 由假设，得，
从而，当时，……②；当时，…….③
明显，②、③都与①冲突，这说明假设不成立，∴方程的解是惟一的.
点评：当原命题从证明下手证明较困难时，可不时时机地选择从它的反面证明，有时会起到事半功倍的效果.
三、当问题中毁灭“至多”“至少”时：
例3已知都是正数，试证：关于的三个方程，，至少有一个方程有两个不相等的实根。
证明：假设三个方程均无不相等的实根，则
与都是正数冲突
故三个方程中至少有一个方程有两个不相等的实根
点评：“至少”、“至多”型问题的常规证法是反证法；本题首先否定结论，利用方程的根与判别式之间的关系进行推理，最终推出与已知冲突的结果，从而确定命题的正确性。借助反证法，整个推理过程顺理成章，试想一下假如不用反证会将如何？
四、解决存在型问题时有时可用反证法
例4 已知数列中，，a为正实数，
（1）若，试求a的取值范围。
（2）是否存在正实数a，使对任意恒成立。
解（1）
∴
∵，∴
（2）不存在正实数a，使对任意恒成立。下面用反证法加以证明。
假设存在正实数a，对任意，使恒成立，则，恒成立。
∴ ∴ ∴
又
∴
即
故取，即，有，则与冲突，因此，不存在正实数a，使，对，恒成立。
点评：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行。“不存在”就是没有，找不到。这类问题常用反证法加以认证。“是否存在”的问题，结论有两种：假如存在，找出一个来；假如不存在，需说明理由，这时，通常用反证法。
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