资源描述
§1.1.1 数列的概念
本小节重点:了解数列概念、分类、通项公式;及通项公式的求法。
一、 基本概念
1. 数列的概念
按确定次序排列的一列数叫数列。
注:数列的另确定义:数列也可以看做是一个定义域为正整数集,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
数列中的每一个数按挨次1,2,3,…,都有一个序号,叫作项数,每一个序号也对应着一个数,这个数叫作数列中的项,例如第4个数,叫作第4项,第n个数,叫作第n项,记作;
数列的一般形式为,,,…,,…简洁记为,其中表示数列的通项.
通项公式:假如一个数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式表示时,我们称这个公式为这个数列的通项公式。
特殊提示:a) 数列的通项公式不是唯一的,例如:-1,1,-1,1,…通项公式可表示为或;
b) 不是全部的数列都有通项公式,例如:3,3.1,3.14,3.141,3.1415,…就没有通项公式.
递推公式:假如已知数列的第1项(或前几项),且从其次项(或某一项)开头的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系式可以用一个公式来表示,则这个公式就叫作递推公式。
2. 数列的表示方法
列表法,指列出表格来表示数列的第n项与序号n之间的关系.
图像法,指在坐标平面中用点表示.
解析法,指用一数学式子表示来。例如:常用的通项公式.
3. 数列的分类
按数列中项数的多少来分:有穷数列和无穷数列.
按数列中相邻两项间的大小关系来分:递增数列、递减数列、常数列和摇摆数列.
依据任何一项的确定值是否都大于某一正数来分:有界数列和无界数列.
二、 例题讲解
例1. 依据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1) ,,,,… (2) 1,3,6,10,15,…
(3) ,,,,… (4) 6,66,666,…
(5),,,,…
(6) ,,,,,,…或
特殊提示:在此种题型当中一些常用的数列为:
1) 1,0,1,0,…; 2)-1,1,-1,1,…; 3)1,11,111,1111,…
例2. 已知数列,
(1) 求数列的第10项
(2) 是否为该数列的项,为什么?
(3) 求证:数列中各项都在区间内;
(4) 在区间内有很多列中的项?
例3. 利用递推公式写出下列各题通项公式
(1)(可用两种方法)
(2)已知数列 满足求
(3)(插项法和叠加法组合)
(4)在数列中,已知,
(5)设是首项为1的正数数列,且,求它的通项公式.(累乘法)
(6)已知数列中,,数列中,,当时,,求
例4. 求下列数列中某一项
(1) 已知数列满足,求
(2) 已知数列对任意,有,若,求
(3) 在数列中,,求
(4) 已知数列满足,求
例5. 利用数列的单调性解答
(1)若数列的通项公式,数列的最大项为第x项,最小项为第y项,则x+y=
(2)设数列的通项公式为,若数列是单调递增数列,求实数k的取值范围.
(3)设,又知数列的通项满足,
1)试求数列的通项公式;
2)推断数列的增减性.
(4)设是定义在正整数集上的函数,且满足,假如,则=
例6. 和之间的关系
注:数列的通项与前n项和的相互关系是:;
(1) 已知数列的前n项和,求数列的通项公式.
(2) 已知求
(3) 已知,又数列中,,这个数列的前n项和的公式,对全部大于1的自然数n都有.
1) 求数列的通项公式.
2) 若, 求的值
特殊提示:请同学自行归纳出求通项公式的基本方法.
展开阅读全文