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§3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
【课时目标】 1．把握求两条直线交点的方法．2．把握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法争辩几何问题的解析思想．
1．两条直线的交点
已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
若两直线方程组成的方程组有唯一解，则两直线______，交点坐标为________．
2．方程组的解的组数与两直线的位置关系
方程组
的解
交点
两直线
位置关系
方程系数特征
无解
两直线____交点
平行
A1B2＝A2B1
B1C2≠B2C1
有唯一解
两条直线有
______个交点
相交
A1B2≠A2B1
有很多个解
两条直线有
________个交点
重合
A1B2＝A2B1
B2C1＝B1C2
一、选择题
1．直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合
2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
3．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为( )
A．－24 B．6
C．±6 D．以上答案均不对
5．已知直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，l1∥l2，则m的值是( )
A．m＝3 B．m＝0
C．m＝0或m＝3 D．m＝0或m＝－1
6．直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A． B． C．－ D．－
二、填空题
7．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________．
8．已知直线l过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．
9．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．
三、解答题
10．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．
11．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．
力气提升
12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
13．一束平行光线从原点O(0,0)动身，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．
1．过定点(x0，y0)的直线系方程
y－y0＝k(x－x0)是过定点(x0，y0)的直线系方程，但不含直线x＝x0；A(x－x0)＋B(y－y0)＝0是过定点(x0，y0)的一切直线方程．
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．与y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b)．
3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)，是过l1与l2交点的全部直线方程．
§3．3 直线的交点坐标与距离公式
3．3．1 两条直线的交点坐标
答案
学问梳理
1．相交 (x0，y0)
2．无 1 很多
作业设计
1．A [化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]
2．A [首先解得交点坐标为(1,6)，再依据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0．]
3．B [首先联立，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax＋2y＋8＝0得a＝－1．]
4．C [2x＋3y－m＝0在y轴上的截距为，直线x－my＋12＝0在y轴上的截距为，由＝得m＝±6．]
5．D [l1∥l2，则1·3m＝(m－2)·m2，
解得m＝0或m＝－1或m＝3．
又当m＝3时，l1与l2重合，
故m＝0或m＝－1．]
6．D [设直线l与直线y＝1的交点为A(x1,1)，直线l与直线x－y－7＝0的交点为B(x2，y2)，由于M(1，－1)为AB的中点，所以－1＝即y2＝－3，代入直线x－y－7＝0得
x2＝4，由于点B，M都在直线l上，所以kl＝＝－．故选D．]
7．2
解析 首先解得方程组的解为，
代入直线y＝3x＋b得b＝2．
8．8x＋16y＋21＝0
9．(－1，－2)
解析 直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即(－1，－2)．
10．解 (1)2x＋y－8＝0在x轴、y轴上的截距分别是4和8，符合题意．
(2)当l的方程不是2x＋y－8＝0时，
设l：(x－2y＋1)＋λ(2x＋y－8)＝0，
即(1＋2λ)x＋(λ－2)y＋(1－8λ)＝0．
据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．
令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－．
∴－＝2·解之得λ＝，此时y＝x．
∴所求直线方程为2x＋y－8＝0或y＝x．
11．解
如图，过D，E，F分别作EF，FD，DE的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC的三个顶点A，B，C．
由已知得，直线DE的斜率
kDE＝＝，所以kAB＝．
由于直线AB过点F，所以直线AB的方程为
y－2＝(x＋1)，即4x－5y＋14＝0．①
由于直线AC经过点E(3,1)，且平行于DF，
同理可得直线AC的方程
5x－y－14＝0．②
联立①，②，解得点A的坐标是(4,6)．
同样，可以求得点B，C的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)．
因此，△ABC的三个顶点是A(4,6)，B(－6，－2)，C(2，－4)．
12．解
如图所示，由已知，A应是BC边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．
由，得，
故A(－1,0)．
又∠A的角平分线为x轴，
故kAC＝－kAB＝－1，(也可得B关于y＝0的对称点(1，－2)．
∴AC方程为y＝－(x＋1)，
又kBC＝－2，
∴BC的方程为
y－2＝－2(x－1)，
由，得，
故C点坐标为(5，－6)．
13．解 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
，解得，
∴A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3．
由方程组，解得，
∴反射光线与直线l的交点坐标为．
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