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第6课时 等比数列的概念及其性质
1.理解等比数列和等比中项的定义.
2.把握等比数列的通项公式,并会推导.
3.对定义和通项公式能简洁应用.
重点:等比数列的概念、通项、等比中项等.
难点:对通项公式的机敏应用.
我国古代一些学者提出:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”假如把“一尺之棰”看成单位“1”,那么得到一个数列:1,,,,,….
问题1:(1)假如一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于 同一个常数 ,这个数列叫作等比数列,这个常数称为等比数列的 公比 .公比通常用字母 q 表示.
(2)假如a,G,b成 等比数列 ,那么G叫作a与b的等比中项.G= ± .
(3)等比数列从第2项起,每一项都是它前后两项的等比中项(有穷数列的末项除外),即 =an·an+2(n∈N*) .
问题2:等比数列的通项公式的推导
(1)迭代法:依据等比数列的定义,有an=an-1q=an-2q2=…=a2qn-2= a1qn-1 .
(2)归纳法:a2=a1q,a3=a2q= a1q2 ,a4=a3q= a1q3 ,…,an=an-1q= a1qn-1 .
(3)累乘法:依据等比数列的定义可得,
=q,=q,=q,…,=q,
把以上n-1个等式左右两边分别相乘,得
···…·=q·q·q·…·q(n-1个),即= qn-1 ,∴an= a1qn-1 .
问题3:如何用函数的观点理解等比数列的通项公式?
等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1,还可以改写为an=·qn,当q>0且q≠1时,y=qx是一个 指数 函数,而y=·qn是一个不为0的 常数 与 指数 函数的积.因此等比数列{an}的图象是函数y=·qx的图象上一些孤立的点.
问题4:等比数列的单调性
q的取值
a1的符号
数列的单调性
q>1
a1>0
递增数列
a1<0
递减数列
0<q<1
a1>0
递减数列
a1<0
递增数列
q=1
常数列
q<0
摇摆数列
《孙子算经》中有这样一个好玩的题目:今有出门望九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问几何?
题目的意思是:某人走出门外,观看前方有9条堤岸,每条堤上有9棵树木,每棵树上有9根树枝,每根树枝上有9个鸟巢,每个鸟巢里有9只大鸟,每只大鸟都孵出了9只小鸟,每只小鸟都长出了9片羽毛,每片羽毛上都有9种颜色.问这个人观看的树、枝、巢、大鸟、小鸟、小鸟羽毛及羽毛上的颜色各是多少?
题目的解答,可逐步求得如下:
树木数:9棵×9=92棵.
树枝数:9根×92=93根.
鸟巢数:9个×93=94个.
大鸟数:9只×94=95只.
小鸟数:9只×95=96只.
羽毛数:9片×96=97片.
毛色数:9种×97=98种.
1.是等比数列4,4,2,…的( ).
A.第10项 B.第11项
C.第12项 D.第13项
【解析】q==,由通项公式,得=4×()n-1,∴()n-1==()10,故n-1=10,即n=11.
【答案】B
2.在2和16中间插入两个数,使这四个数成等比数列,则插入的两个数为( ).
A.-4和-8 B.-4和8
C.4和8 D.4和-8
【解析】q3==8,所以q=2,所以插入的两数分别为4和8.
【答案】C
3.在等比数列{an}中:
(1)a4=27,q=-3,a7= ;
(2)a2=18,a4=8,q= ;
(3)a5=4,a7=6,a9= .
【解析】(1)由a4=a1q3得a1=-1,∴a7=a1q6=-729;
(2)q2==,∴q=±;
(3)q2==,∴a9=a7q2=6×=9.
【答案】(1)-729 (2)± (3)9
4.求出下列等比数列中的未知项:
(1)2,a,8;
(2)-4,b,c,.
【解析】(1)由题意得=,∴a=4或a=-4.
(2)由题意得∴b=2,c=-1.
等比数列的概念的理解
观看下面几个数列:
①1,-,,-,;
②数列{an}中,已知=2,=2;
③常数列a,a,a,…;
④数列{an}中,an+1=2an.
其中是等比数列的为 .(只填序号)
【方法指导】可利用等比数列的定义进行推断.
【解析】①=-,是等比数列;②不愿定是等比数列,当{an}的项数大于3时,不愿定符合等比数列的定义;③当a=0时,不是等比数列,当a≠0时,是公比q=1的等比数列;④当an=0时,不是等比数列,当an≠0时,则{an}是等比数列.故填①.
【答案】①
【小结】推断数列{an}是否为等比数列,只要看{an}是否满足等比数列的定义,同时还要留意一个结论:非零常数列既是等差数列,又是等比数列.
求等比数列的通项公式
已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4=,求{an}的通项公式.
【方法指导】本题主要考查等比数列的通项公式,设出公比,依据已知条件列方程组,求出首项和公比.
【解析】设等比数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1,
由题意,得
解得或
所以an=×3n-1=2×3n-3或an=18×()n-1=2×33-n.
【小结】解决等比数列的关键是明确首项和公比.通常利用解方程组的方法求出首项和公比,解方程组常用的技巧是消元,本题也可接受探究三的设法.
等比数列通项的应用
已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数.
【方法指导】三个数成等比数列可以设为,a,aq,列出方程组求解.
【解析】设这三个数分别为,a,aq,则
由①得a=3,代入②得q=3或q=.
∴当q=3时,这三个数分别为1,3,9;
当q=时,这三个数分别为9,3,1.
[问题]上述解法正确吗?
[结论]不正确.错解忽视了公比为负值的状况,开方时应留意取正负值.
于是,正确解答如下:
设这三个数分别为,a,aq,则
由①得a=3,代入②得q2=9或,∴q=±3或q=±.
∴当q=3时,这三个数分别为1,3,9;
当q=-3时,这三个数分别为-1,3,-9;
当q=时,这三个数分别为9,3,1;
当q=-时,这三个数分别为-9,3,-1.
【小结】等比数列的公比可能为正,也可能为负,但不为0.解方程组时遇到开方问题要留意取正负两种状况,等比中项也有两个值.
已知数列{Cn},其通项Cn=2n+3n,若数列{Cn+1-pCn}为等比数列,求常数p.
【解析】∵{Cn+1-pCn}为等比数列,
∴(Cn+1-pCn)2=(Cn-pCn-1)(Cn+2-pCn+1),
∴[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+3n-p(2n-1+3n-1)]·[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)],
整理得(2-p)(3-p)·2n·3n=0,
解得p=2或p=3.
已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2,a2=1,则a5等于( ).
A.2 B.2 C.4 D.4
【解析】设公比为q,由已知得a1q2·a1q8=2(a1q4)2,即q2=2,又由于等比数列{an}的公比为正数,所以q=,故a5=a2q3=1×2=2,
【答案】B
在243和3中间插入3个数,使这5个数成等比数列,则插入的三个数分别为 .
【解析】设插入的三个数为a2,a3,a4,由题意得243,a2,a3,a4,3组成等比数列.设公比为q,则3=243q5-1,得q=±.所求的三数为81,27,9或-81,27,-9.
【答案】81,27,9或-81,27,-9
1.设数列{an}是各项互不相等的等比数列,a1=9,a2+a3=18,则公比q等于( ).
A.-2 B.-1 C.- D.1
【解析】a2+a3=9q+9q2=18,解得q=-2或q=1.
又数列{an}是各项互不相等的等比数列,则q=-2.
【答案】A
2.若等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】由等比数列的通项公式得an=a1qn-1=×()n-1=,所以n=4.
【答案】B
3.在等比数列{an}中,a3,a9是方程3x2-11x+9=0的两个根,则a6= .
【解析】由题意得,a3·a9==3,又数列{an}为等比数列,所以=a3·a9=3⇒a6=±.
【答案】±
4.已知数列{an}满足:lg an=3n+5,求证:数列{an}是等比数列.
【解析】由lg an=3n+5,得an=103n+5,
∴==1000,
∴数列{an}是等比数列.
(2021年·新课标全国Ⅰ卷)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an= .
【解析】依据题目条件知Sn=an+.当n=1时,S1=a1=a1+,解得a1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an+-(an-1+),即=-2(常数),所以数列{an}是一个首项为1,公比为-2的等比数列,所以它的通项公式为an=(-2)n-1.
【答案】(-2)n-1
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