《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：2.6等比数列的概念及其性质-讲义.docx

第6课时等比数列的概念及其性质1.理解等比数列和等比中项的定义.2.把握等比数列的通项公式,并会推导.3.对定义和通项公式能简洁应用.重点:等比数列的概念、通项、等比中项等.难点:对通项公式的机敏应用.我国古代一些学者提出:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”假如把“一尺之棰”看成单位“1”,那么得到一个数列:1,.问题1:(1)假如一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列叫作等比数列,这个常数称为等比数列的公比.公比通常用字母q表示.(2)假如a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项.G=.(3)等比数列从第2项起,每一项都是它前后两项的等比中项(有穷数列的末项除外),即=anan+2(nN*).问题2:等比数列的通项公式的推导(1)迭代法:依据等比数列的定义,有an=an-1q=an-2q2=a2qn-2=a1qn-1.(2)归纳法:a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,an=an-1q=a1qn-1.(3)累乘法:依据等比数列的定义可得,=q,=q,=q,=q,把以上n-1个等式左右两边分别相乘,得=qqqq(n-1个),即=qn-1,an=a1qn-1.问题3:如何用函数的观点理解等比数列的通项公式? 等比数列an的通项公式an=a1qn-1,还可以改写为an=qn,当q0且q1时,y=qx是一个指数函数,而y=qn是一个不为0的常数与指数函数的积.因此等比数列an的图象是函数y=qx的图象上一些孤立的点.问题4:等比数列的单调性q的取值a1的符号数列的单调性q1a10递增数列a10递减数列0q0递减数列a10递增数列q=1常数列q0摇摆数列孙子算经中有这样一个好玩的题目:今有出门望九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问几何?题目的意思是:某人走出门外,观看前方有9条堤岸,每条堤上有9棵树木,每棵树上有9根树枝,每根树枝上有9个鸟巢,每个鸟巢里有9只大鸟,每只大鸟都孵出了9只小鸟,每只小鸟都长出了9片羽毛,每片羽毛上都有9种颜色.问这个人观看的树、枝、巢、大鸟、小鸟、小鸟羽毛及羽毛上的颜色各是多少?题目的解答,可逐步求得如下:树木数:9棵9=92棵.树枝数:9根92=93根.鸟巢数:9个93=94个.大鸟数:9只94=95只.小鸟数:9只95=96只.羽毛数:9片96=97片.毛色数:9种97=98种.1.是等比数列4,4,2,的(). A.第10项B.第11项C.第12项D.第13项【解析】q=,由通项公式,得=4()n-1,()n-1=()10,故n-1=10,即n=11.【答案】B2.在2和16中间插入两个数,使这四个数成等比数列,则插入的两个数为().A.-4和-8B.-4和8C.4和8D.4和-8【解析】q3=8,所以q=2,所以插入的两数分别为4和8.【答案】C3.在等比数列an中:(1)a4=27,q=-3,a7=;(2)a2=18,a4=8,q=;(3)a5=4,a7=6,a9=.【解析】(1)由a4=a1q3得a1=-1,a7=a1q6=-729;(2)q2=,q=;(3)q2=,a9=a7q2=6=9.【答案】(1)-729(2)(3)94.求出下列等比数列中的未知项:(1)2,a,8;(2)-4,b,c,.【解析】(1)由题意得=,a=4或a=-4.(2)由题意得b=2,c=-1.等比数列的概念的理解观看下面几个数列:1,-,-,;数列an中,已知=2,=2;常数列a,a,a,;数列an中,an+1=2an.其中是等比数列的为.(只填序号)【方法指导】可利用等比数列的定义进行推断.【解析】=-,是等比数列;不愿定是等比数列,当an的项数大于3时,不愿定符合等比数列的定义;当a=0时,不是等比数列,当a0时,是公比q=1的等比数列;当an=0时,不是等比数列,当an0时,则an是等比数列.故填.【答案】【小结】推断数列an是否为等比数列,只要看an是否满足等比数列的定义,同时还要留意一个结论:非零常数列既是等差数列,又是等比数列.求等比数列的通项公式已知an为等比数列,a3=2,a2+a4=,求an的通项公式.【方法指导】本题主要考查等比数列的通项公式,设出公比,依据已知条件列方程组,求出首项和公比.【解析】设等比数列an的公比为q,则an=a1qn-1,由题意,得解得或所以an=3n-1=23n-3或an=18()n-1=233-n.【小结】解决等比数列的关键是明确首项和公比.通常利用解方程组的方法求出首项和公比,解方程组常用的技巧是消元,本题也可接受探究三的设法.等比数列通项的应用已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数.【方法指导】三个数成等比数列可以设为,a,aq,列出方程组求解.【解析】设这三个数分别为,a,aq,则由得a=3,代入得q=3或q=.当q=3时,这三个数分别为1,3,9;当q=时,这三个数分别为9,3,1.问题上述解法正确吗?结论不正确.错解忽视了公比为负值的状况,开方时应留意取正负值.于是,正确解答如下:设这三个数分别为,a,aq,则由得a=3,代入得q2=9或,q=3或q=.当q=3时,这三个数分别为1,3,9;当q=-3时,这三个数分别为-1,3,-9;当q=时,这三个数分别为9,3,1;当q=-时,这三个数分别为-9,3,-1.【小结】等比数列的公比可能为正,也可能为负,但不为0.解方程组时遇到开方问题要留意取正负两种状况,等比中项也有两个值.已知数列Cn,其通项Cn=2n+3n,若数列Cn+1-pCn为等比数列,求常数p.【解析】Cn+1-pCn为等比数列,(Cn+1-pCn)2=(Cn-pCn-1)(Cn+2-pCn+1),2n+1+3n+1-p(2n+3n)2=2n+3n-p(2n-1+3n-1)2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1),整理得(2-p)(3-p)2n3n=0,解得p=2或p=3.已知等比数列an的公比为正数,且a3a9=2,a2=1,则a5等于().A.2B.2C.4D.4【解析】设公比为q,由已知得a1q2a1q8=2(a1q4)2,即q2=2,又由于等比数列an的公比为正数,所以q=,故a5=a2q3=12=2,【答案】B在243和3中间插入3个数,使这5个数成等比数列,则插入的三个数分别为.【解析】设插入的三个数为a2,a3,a4,由题意得243,a2,a3,a4,3组成等比数列.设公比为q,则3=243q5-1,得q=.所求的三数为81,27,9或-81,27,-9.【答案】81,27,9或-81,27,-91.设数列an是各项互不相等的等比数列,a1=9,a2+a3=18,则公比q等于(). A.-2B.-1C.-D.1【解析】a2+a3=9q+9q2=18,解得q=-2或q=1.又数列an是各项互不相等的等比数列,则q=-2.【答案】A2.若等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为().A.3B.4C.5D.6【解析】由等比数列的通项公式得an=a1qn-1=()n-1=,所以n=4.【答案】B3.在等比数列an中,a3,a9是方程3x2-11x+9=0的两个根,则a6=.【解析】由题意得,a3a9=3,又数列an为等比数列,所以=a3a9=3a6=.【答案】4.已知数列an满足:lg an=3n+5,求证:数列an是等比数列.【解析】由lg an=3n+5,得an=103n+5,=1000,数列an是等比数列.(2021年新课标全国卷)若数列an的前n项和Sn=an+,则an的通项公式是an=.【解析】依据题目条件知Sn=an+.当n=1时,S1=a1=a1+,解得a1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=an+-(an-1+),即=-2(常数),所以数列an是一个首项为1,公比为-2的等比数列,所以它的通项公式为an=(-2)n-1.【答案】(-2)n-1